2009年全国高中数学联赛湖北省预赛

略

设$$x_1+x_2+x_3=x , x_4+x_5=y , x_6=z,$$则 $x\geqslant 3$，$y\geqslant 2$，$z\geqslant 1$．
先考虑不定方程 $x+3y+5z=21$ 满足 $x\geqslant 3$，$y\geqslant 2$，$z\geqslant 1$ 的正整数解．
因为$$x\geqslant 3 , y\geqslant 2 , z\geqslant 1,$$所以$$5z=21-x-3y\leqslant 12,$$故 $1\leqslant z\leqslant 2$．
当 $z=1$ 时，有$$x+3y=16,$$此方程满足 $x\geqslant 3$，$y\geqslant 2$ 的正整数解为$$(x,y)=(10,2),(7,3),(4,4).$$当 $z=2$ 时，有$$x+3y=11,$$此方程满足 $x\geqslant 3$，$y\geqslant 2$ 的正整数解为$$(x,y)=(5,2).$$因此不定方程 $x+3y+5z=21$ 满足 $x\geqslant 3$，$y\geqslant 2$，$z\geqslant 1$ 的正整数解为$$(x,y,z)=(10,2,1),(7,3,1),(4,4,1),(5,2,2).$$又因为方程$$x_1+x_2+x_3=x(x\in {\mathbb N},x\geqslant 3)$$的正整数解的组数为 ${\rm C}_{x-1}^2$，方程$$x_4+x_5=y(y\in{\mathbb N},y\geqslant 2)$$的正整数解的组数为 ${\rm C}_{y-1}^1$，故由分步计数原理知，原不定方程的正整数解的组数为$${\rm C}_9^2{\rm C}_1^1+{\rm C}_6^2{\rm C}_2^1+{\rm C}_3^2{\rm C}_3^1+{\rm C}_4^2{\rm C}_1^1=36+30+9+6=81.$$