$$a_n=\begin{cases}(3n+1)4^{n-1},&b=4,\\ \left(4+\dfrac {12}{b-4}\right)b^{n-1}-\dfrac {3}{b-4}\times 4^n,&b \neq 4.\end{cases}$$

当 $n=1$ 时，有$$(1-b)a_1=-ba_1+4,$$故 $a_1=4$．
当 $n \geqslant 2$ 时，由$$(1-b)S_n=-ba_n+4^n,$$及$$(1-b)S_{n-1}=-ba_{n-1}+4^{n-1},$$于是$$(1-b)a_n=-b(a_n-a_{n-1})+3\times 4^{n-1},$$即$$a_n=ba_{n-1}+3\times 4^{n-1}.$$情形一 若 $b=4$，则$$\dfrac {a_n}{4^n}=\dfrac {a_{n-1}}{4^{n-1}}+\dfrac 34,$$于是$$\dfrac {a_n}{4^n}=\dfrac {a_{1}}{4}+\dfrac 34(n-1),$$从而$$a_n=(3n+1)4^{n-1},(n\geqslant 2)$$所以$$a_n=(3n+1)4^{n-1} (n\geqslant 1).$$情形二 若 $b\neq 4$，则$$a_n+\dfrac {3}{b-4}\times 4^n=b\left(a_{n-1}+\dfrac {3}{b-4}\times 4^{n-1}\right),$$于是$$a_n+\dfrac {3}{b-4}\times 4^n=\left(a_{1}+\dfrac {3}{b-4}\times 4 \right)b^{n-1},$$从而$$a_n= \left(4+\dfrac {12}{b-4} \right)b^{n-1}-\dfrac {3}{b-4}\times 4^n,(n\geqslant 2)$$所以$$a_n= \left(4+\dfrac {12}{b-4} \right)b^{n-1}-\dfrac {3}{b-4}\times 4^n (n\geqslant 1).$$综上所述，$$a_n=\begin{cases}(3n+1)4^{n-1},&b=4,\\ \left(4+\dfrac {12}{b-4}\right)b^{n-1}-\dfrac {3}{b-4}\times 4^n,&b \neq 4.\end{cases}$$

$\left(0,\dfrac{5}{2}\right]$

若 $b=4$，$$c_n=\dfrac {3n+1}{4},$$显然不满足条件，故 $b\neq 4$．
若 $b\neq 4$，$$c_n=\dfrac {4(b-1)}{b(b-4)}\times \left(\dfrac b4\right)^n-\dfrac {3}{b-4}.$$情形一 当 $b> 4$ 时，$$\dfrac {4(b-1)}{b(b-4)}>0,$$故当 $n\to +\infty$ 时，$c_n\to +\infty$，不符合条件，舍去．
情形二 当 $1<b<4$ 时，$$\dfrac {4(b-1)}{b(b-4)}<0 , -\dfrac {3}{b-4}>0,$$从而 $c_n$ 为单调递增数列．
因为 $c_1=1>0$，故 $c_n>0$，要使 $|c_n|\leqslant 2$ 成立，只需$$\lim \limits_{n\to \infty}c_n=-\dfrac {3}{b-4}\leqslant 2,$$于是 $1<b \leqslant \dfrac 52$．
故 $1<b \leqslant \dfrac 52$ 符合条件．
情形三 当 $b=1$ 时，$c_n=1$，显然也满足条件，故 $b=1$ 符合条件．
情形四 当 $0<b<1$ 时，$$\dfrac {4(b-1)}{b(b-4)}>0 , -\dfrac {3}{b-4}>0,$$从而 $c_n$ 为单调递减数列，且 $c_n>0$．
因此，只需满足$$c_1=\dfrac {a_1}{4}=1\leqslant 2,$$显然成立，故 $0<b<1$ 符合条件．
综上所述，所求的实数 的取值范围是 $\left(0,\dfrac{5}{2}\right]$．