设 $\triangle ABC$ 的内角 $A,B,C$ 的对边分别为 $a,b,c$，且满足 $\sin A+\sin B=(\cos A+\cos B)\sin C$．
【难度】
【出处】
2015年全国高中数学联赛陕西省预赛（二试）
【标注】
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求证：$\triangle ABC$ 为直角三角形；标注答案略解析题中等式结合正余弦定理，得$$a+b=\left(\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}+\dfrac{c^2+a^2-b^2}{2ac}\right)c,$$化简整理得$$(a+b)(a^2+b^2)=(a+b)c^2.$$因为 $a+b>0$，所以$$a^2+b^2=c^2,$$故 $\triangle ABC$ 是以点 $C$ 为直角顶点的直角三角形．
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若 $a+b+c=1+\sqrt2$，求 $\triangle ABC$ 面积的最大值．标注答案$\dfrac14$解析因为$$a+b+c=1+\sqrt2 , a^2+b^2=c^2,$$所以$$1+\sqrt2=a+b+\sqrt{a^2+b^2}\geqslant\left(2+\sqrt2\right)\sqrt{ab},$$当且仅当 $a=b$ 时，上式等号成立．
因此$$S_{\triangle ABC}=\dfrac12ab\leqslant\dfrac12\left(\dfrac{\sqrt2}{2}\right)^2=\dfrac14,$$即 $\triangle ABC$ 面积的最大值为 $\dfrac14$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
