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序号 ID 年级 类型 来源 摘要 创建时间
25898 59719e7bd3e6ac00094ed55e 高中 解答题 自招竞赛 若 $F_1,F_2$ 分别为双曲线 $\dfrac{y^2}{a^2}-\dfrac{x^2}{b^2}=1$ 的下、上焦点，$O$ 为坐标原点，$P$ 在双曲线的下支上，点 $M$ 在准线上．且满足：$\overrightarrow{F_2O}=\overrightarrow {MP}$，$\overrightarrow{F_1M}=\lambda \left(\dfrac{\overrightarrow{F_1P}}{\left|\overrightarrow{F_1P}\right|}+\dfrac{\overrightarrow{F_1O}}{\left|\overrightarrow{F_1O}\right|}\right)$（$\lambda>0$）． 2022-04-17 20:09:50
25897 5962e9c43cafba00083372be 高中 解答题 自招竞赛 已知 $n\geqslant 23$ 且 $n\in\mathbb N^*$，求证：$2<1+\dfrac 1{\sqrt{2^3}}+\dfrac 1{\sqrt{3^3}}+\cdots +\dfrac 1{\sqrt{n^3}}<3$． 2022-04-17 20:08:50
25896 5962ea9e3cafba000ac43ddd 高中 解答题 自招竞赛 已知：$f(x,y)=x^3+y^3+x^2y+xy^2-3(x^2+y^2+xy)+3(x+y)$，且 $x,y\geqslant \dfrac 12$，求 $f(x,y)$ 的最小值． 2022-04-17 20:08:50
25895 5971b5e5d3e6ac00094ed583 高中 解答题 自招竞赛 求函数 $f(x)=\sin^4 x \cdot \tan x +\cos ^4 x \cdot \cot x$ 的值域． 2022-04-17 20:07:50
25894 5971b5e5d3e6ac00094ed585 高中 解答题 自招竞赛 设 $a,b$ 是正数，且 $a\ne 1$，$b\ne 1$，求证：$\dfrac{a^5-1}{a^4-1}\cdot \dfrac{b^5-1}{b^4-1}>\dfrac{25}{64}(a+1)(b+1)$． 2022-04-17 20:06:50
25893 597556cad3e6ac000757ebb3 高中 解答题 自招竞赛 如图，在 $\triangle{ABC}$ 中，$DE\parallel BC$，$\triangle{ADE}$ 的内切圆与 $DE$ 切于点 $M$，$\triangle{ABC}$ 的 $BC$ 边上的旁切圆切 $BC$ 于点 $N$，点 $P$ 是 $BE$ 与 $CD$ 的交点，求证：$M,N,P$ 三点共线． 2022-04-17 20:05:50
25892 597556cad3e6ac000757ebb4 高中 解答题 自招竞赛 设 $k,n$ 为给定的整数，$n>k\geqslant 2$．对任意 $n$ 元的数集 $P$，作 $P$ 的所有 $k$ 元子集的元素和，记这些和组成的集合为 $Q$，集合 $Q$ 中元素个数是 ${\rm Card}(Q)$，求 ${\rm Card}(Q)$ 的最大值． 2022-04-17 20:05:50
25891 597556cad3e6ac000757ebb5 高中 解答题 自招竞赛 设 $M=2^{n_1}+2^{n_2}+\cdots +2^{n_s}$，$n_1,n_2,\cdots ,\cdots ,n_s$ 是互不相同的正整数，求证：$$2^{\frac{n_1}{2}}+2^{\frac{n_2}{2}}+\cdots +2^{\frac{n_s}{2}}<(1+\sqrt 2)\sqrt M.$$ 2022-04-17 20:04:50
25890 59756967d3e6ac00094ed5b7 高中 解答题 自招竞赛 有 $n$ 把看上去样子相同的钥匙，其中只有一把能把大门上的锁打开．设抽取钥匙是相互独立且等可能的，每把钥匙试开后不再放回，求试开次数 $\epsilon$ 的分布列及数学期望 $E(\epsilon)$． 2022-04-17 20:04:50
25889 59756967d3e6ac00094ed5b8 高中 解答题 自招竞赛 已知函数 $f(x)=-2x+4$，令$$S_n=f\left(\dfrac 1n\right)+f\left(\dfrac 2n\right)+\cdots +f\left(\dfrac{n-1}{n}\right)+f(1)(n\in\mathbb N^*),$$若不等式 $\dfrac{a^n}{S_n}<\dfrac{a^{n+1}}{S_{n+1}}$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围． 2022-04-17 20:03:50
25888 59756967d3e6ac00094ed5b9 高中 解答题 自招竞赛 设椭圆 $C_1$ 的方程为 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$），曲线 $C_2$ 的方程为 $y=\dfrac 1x$，且 $C_1$ 与 $C_2$ 在第一象限内只有一个公共点 $P$． 2022-04-17 20:03:50
25887 597591106b07450008983604 高中 解答题 自招竞赛 设 $a$ 和 $b$ 是两个整数，如果 $a-b$ 能够被正整数 $n$ 整除，则称 $a$ 和 $b$ 是模 $n$ 同余的，记为 $a\equiv b\pmod{n}$．已知正整数 $a$ 满足 $a\equiv3\pmod{4}$，求证：$x^2+y^2=a$ 无整数解． 2022-04-17 20:02:50
25886 597591106b07450008983605 高中 解答题 自招竞赛 已知椭圆 $E:\dfrac{x^2}{9}+\dfrac{y^2}{5}=1$ 的左焦点为 $F_1$，过 $F_1$ 的直线 $l$ 交椭圆 $E$ 于 $A,B$ 两点，点 $Q$ 的坐标为 $\left(-\dfrac92,0\right)$．若 $\overrightarrow{QB}\perp\overrightarrow{AB}$，求直线 $l$ 的斜率． 2022-04-17 20:02:50
25885 597591106b07450008983606 高中 解答题 自招竞赛 有九个同学参加聚会，已知每两个人恰好和同一个人喝过酒．证明：其中恰有一个人和所有人喝过酒，并且其他人每人恰好和两个人喝过酒． 2022-04-17 20:01:50
25884 59704db2dbbeff0009d29eb9 高中 解答题 高中习题 解方程 ${x^3} - 3x = \sqrt {x + 2} $． 2022-04-17 20:01:50
25883 5987fa805ed01a000ba75bbe 高中 解答题 自招竞赛 已知平行四边形 $ABCD$ 满足 $\angle{BAD}=90^{\circ}$，向四边形外部作 $\triangle{DCE}$ 和 $\triangle{BCF}$ 使得 $\angle{EDC}=\angle{CBF}$，$\angle{DCE}=\angle{BFC}$，连结 $EF$，向 $\triangle{CEF}$ 外部作 $\triangle{EFG}$ 使得 $\angle{FEG}=\angle{CED}$．证明：$\triangle{AEF}\cong \triangle{GEF}$． 2022-04-17 20:00:50
25882 5975aacf6b0745000705b960 高中 解答题 自招竞赛 已知平行四边形 $ABCD$ 满足 $\angle{BAD}=90^{\circ}$，向四边形外部作 $\triangle{DCE}$ 和 $\triangle{BCF}$ 使得 $\angle{EDC}=\angle{CBF}$，$\angle{DCE}=\angle{BFC}$，连结 $EF$，向 $\triangle{CEF}$ 外部作 $\triangle{EFG}$ 使得 $\angle{FEG}=\angle{CED}$．证明：$\triangle{AEF}\cong \triangle{GEF}$． 2022-04-17 20:00:50
25881 598800765ed01a00098494c5 高中 解答题 高中习题 假设平面点集 $S$ 具有性质：（i）任意三点不共线；（ii）任意两点距离各不相等．对于 $S$ 中两点 $A,B$，若存在 $C\in S$ 使得 $|AC|<|AB|<|BC|$，则称 $AB$ 是 $S$ 的一条中边．对于 $S$ 中三点 $A,B,C$，若 $AB,AC,BC$ 都是 $S$ 的中边，则称 $\triangle{ABC}$ 是 $S$ 的中边三角形．求最小的 $n$ 使得任意具有性质（i）和（ii）的 $n$ 元平面点集 $S$ 中一定存在中边三角形． 2022-04-17 20:59:49
25880 5975b8006b074500089836ac 高中 解答题 高中习题 若实数 $a,b,c$ 满足 $2^a+4^b=2^c$，$4^a+2^b=4^c$，求 $c$ 的最小值． 2022-04-17 20:59:49
25879 5975b8006b074500089836ad 高中 解答题 高中习题 设 $a_1,a_2,a_3,a_4$ 是 $4$ 个有理数，使得$$\{a_ia_j\mid 1\leqslant i<j\leqslant4\}=\left\{-24,-2,-\dfrac32,-\dfrac18,1,3\right\},$$求 $a_1+a_2+a_3+a_4$ 的值． 2022-04-17 20:58:49
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