设 $k,n$ 为给定的整数，$n>k\geqslant 2$．对任意 $n$ 元的数集 $P$，作 $P$ 的所有 $k$ 元子集的元素和，记这些和组成的集合为 $Q$，集合 $Q$ 中元素个数是 ${\rm Card}(Q)$，求 ${\rm Card}(Q)$ 的最大值．
【难度】
【出处】
2009年全国高中数学联赛江苏省复赛（二试）
【标注】
【答案】
${\rm C}_n^k$
【解析】
因 $P$ 共有 ${\rm C}_n^k$ 个 $k$ 元子集，故显然有$${\rm Card}(Q)\leqslant {\rm C}_n^k.$$下面指出，对集合 $P=\{2,2^2,\cdots ,2^n\}$，相应的 $C_Q$ 等于 ${\rm C}_n^k$，即 $P$ 的任意两个不同的 $k$ 元子集的元素之和不相等，从而 ${\rm Card}(Q)$ 的最大值为 ${\rm C}_n^k$．
事实上，若上述的集合 $P$ 有两个不同的 $k$ 元子集\[\begin{aligned}A&=\{2^{r_1},2^{r_2},\cdots ,2^{r_k}\},\\ B&=\{2^{s_1},2^{s_2},\cdots ,2^{s_k}\},\end{aligned}\]使得 $A$ 与 $B$ 的元素之和相等，则$$2^{r_1}+2^{r_2}+\cdots +2^{r_k}=2^{s_1}+2^{s_2}+\cdots +2^{s_k}=M.$$因上式可视为正整数 $M$ 的二进制表示，由于 $r_i$ 互不相同，$s_i$ 互不相同，故由正整数的二进制表示的唯一性，我们可推出，集合 $\{r_1,r_2,\cdots ,r_k\}$ 必须与 $\{a_1,s_2,\cdots ,s_k\}$ 相同，从而子集 $A=B$，矛盾．
这就证明了我们的结论．
事实上，若上述的集合 $P$ 有两个不同的 $k$ 元子集\[\begin{aligned}A&=\{2^{r_1},2^{r_2},\cdots ,2^{r_k}\},\\ B&=\{2^{s_1},2^{s_2},\cdots ,2^{s_k}\},\end{aligned}\]使得 $A$ 与 $B$ 的元素之和相等，则$$2^{r_1}+2^{r_2}+\cdots +2^{r_k}=2^{s_1}+2^{s_2}+\cdots +2^{s_k}=M.$$因上式可视为正整数 $M$ 的二进制表示，由于 $r_i$ 互不相同，$s_i$ 互不相同，故由正整数的二进制表示的唯一性，我们可推出，集合 $\{r_1,r_2,\cdots ,r_k\}$ 必须与 $\{a_1,s_2,\cdots ,s_k\}$ 相同，从而子集 $A=B$，矛盾．
这就证明了我们的结论．
答案
解析
备注
