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序号 ID 年级 类型 来源 摘要 创建时间
25878 590ac5146cddca0008610e51 高中 解答题 自招竞赛 在平面直角坐标系 $xOy$ 中，$F_1$，$F_2$ 分别是椭圆 $\dfrac{x^2}{2}+y^2=1$ 的左、右焦点，设不经过焦点 $F_1$ 的直线 $l$ 与椭圆交于两个不同的点 $A$，$B$，焦点 $F_2$ 到直线 $l$ 的距离为 $d$．如果直线 $AF_1$，$l$，$BF_1$ 的斜率依次成等差数列，求 $d$ 的取值范围． 2022-04-17 20:57:49
25877 5975b8006b074500089836ae 高中 解答题 高中习题 在平面直角坐标系 $xOy$ 中，$F_1,F_2$ 分别是椭圆 $\dfrac{x^2}{2}+y^2=1$ 的左右焦点．设不经过焦点 $F_1$ 的直线 $l$ 与椭圆交于两个不同的点 $A,B$，焦点 $F_2$ 到直线 $l$ 的距离为 $d$．如果直线 $AF_1,l,BF_1$ 的斜率依次成等差数列，求 $d$ 的取值范围． 2022-04-17 20:57:49
25876 5976b5026b07450009684b59 高中 解答题 高中习题 设 $a_1,a_2,\cdots,a_n$（$n\geqslant2$）是实数，证明：可以选取 $\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_n\in\{1,-1\}$，使得$$\left(\sum\limits_{i=1}^{n}{a_i}\right)^2+\left(\sum\limits_{i=1}^{n}{\varepsilon_ia_i}\right)^2\leqslant(n+1)\left(\sum\limits_{i=1}^{n}{a_i^2}\right)^2.$$ 2022-04-17 20:56:49
25875 5976b5026b07450009684b5a 高中 解答题 高中习题 设 $S=\{A_1,A_2,\cdots,A_n\}$，其中 $A_1,A_2,\cdots,A_n$ 是 $n$ 个互不相同的有限集合（$n\geqslant2$），满足对任意 $A_i,A_j\in S$，均有 $A_i\cup A_j\in S$．若 $k=\min\limits_{1\leqslant i\leqslant n}{|A_i|}\geqslant2$．证明：存在 $x\in\bigcup\limits_{i=1}^{n}{A_i}$，使得 $x$ 属于 $A_1,A_2,\cdots,A_n$ 中的至少 $\dfrac{n}{k}$ 个集合（这里 $|X|$ 表示有限集合 $X$ 的元素个数）． 2022-04-17 20:56:49
25874 5976b5026b07450009684b5b 高中 解答题 高中习题 如图，$\triangle ABC$ 内接于圆 $O$，$P$ 为 $\overparen{BC}$ 上一点，点 $K$ 在线段 $AP$ 上，使得 $BK$ 平分 $\angle ABC$．过 $K,P,C$ 三点的圆 $\Omega$ 与边 $AC$ 交于点 $D$，连接 $BD$ 交圆 $\Omega$ 于点 $E$，连接 $PE$ 并延长与边 $AB$ 交于点 $F$．证明：$\angle ABC=2\angle FCB$． 2022-04-17 20:55:49
25873 5976de8108809e0009944a4e 高中 解答题 自招竞赛 设函数 $f(x)=3ax^2-2(a+b)x+b$，其中 $a>0$，$b$ 为任意常数．证明：当 $0\leqslant x\leqslant 1$ 时，有 $|f(x)|\leqslant \max\{f(0),f(1)\}$． 2022-04-17 20:55:49
25872 5976fb6008809e0009944a8b 高中 解答题 自招竞赛 一个 $20$ 行若干列的 $0,1$ 数阵满足：各列互不相同且任意两列中同一行都取 $1$ 的行数不超过 $2$．求当列数最多时，数阵中 $1$ 的个数的最小值． 2022-04-17 20:54:49
25871 598828435ed01a000ad79964 高中 解答题 高中习题 （12分）设 $f(x)=\dfrac{\ln(1+x)}{x}(x>0)$． 2022-04-17 20:54:49
25870 597071e4dbbeff000706d371 高中 解答题 高中习题 平面直角坐标系内，若一个圆的圆心的横坐标和纵坐标均为无理数，求证：该圆上不可能存在 $3$ 个整点． 2022-04-17 20:53:49
25869 5970714adbbeff000aeab88f 高中 解答题 高中习题 证明：$\tan 1^\circ$ 为无理数． 2022-04-17 20:53:49
25868 59706f87dbbeff0009d29f69 高中 解答题 高中习题 证明： 2022-04-17 20:52:49
25867 59706f2adbbeff0008bb4f86 高中 解答题 高中习题 设 $a,b,c$ 是实数，方程 $x^3+ax^2+bx+c=0$ 有 $3$ 个正根，证明 $2a^3+9c\leqslant 7ab$，并且等号成立当且仅当这 $3$ 个正根相等． 2022-04-17 20:51:49
25866 59706d12dbbeff000aeab866 高中 解答题 高中习题 在三角形 $ABC$ 中，$\angle C=90^\circ$，$M$ 是边 $BC$ 的中点，且 $\sin\angle BAM=\dfrac 13$，则 $\sin\angle BAC=$  ． 2022-04-17 20:51:49
25865 59706be1dbbeff0009d29f35 高中 解答题 高中习题 已知 $P$ 点分有向线段 $\overrightarrow {AB}$ 的比为 $\lambda $． 2022-04-17 20:50:49
25864 59706b3adbbeff0009d29f2c 高中 解答题 高中习题 已知对任意实数 $x$ 均有 $a\cos x+b\cos 2x\geqslant -1$ 恒成立，求 $a+b$ 的最大值和最小值． 2022-04-17 20:50:49
25863 59706aeedbbeff000706d324 高中 解答题 高中习题 若对平面上的某一格点 $P$，连接原点 $O$ 与该点的线段 $OP$ 上没有其他格点，称格点 $P$ 是自原点可见的．求证：平面上任意一点 $P$ 自原点可见的概率大于 $0.5$． 2022-04-17 20:49:49
25862 590865b5060a05000a338f30 高中 解答题 高中习题 已知三直线 $l_1:2x-y+a=0$（$a>0$），$l_2:-4x+2y+1=0$ 和 $l_3:x+y-1=0$，且 $l_1$ 与 $l_2$ 的距离为 $\dfrac{7\sqrt 5}{10}$． 2022-04-17 20:48:49
25861 59706a2ddbbeff0009d29f1d 高中 解答题 高中习题 设函数 $f(x)=x\sin x,x\in \mathbb R$． 2022-04-17 20:48:49
25860 59706a1fdbbeff0009d29f1a 高中 解答题 自招竞赛 将一枚均匀的硬币连续抛掷 $n$ 次，以 ${p_n}$ 表示未出现连续 $3$ 次正面的概率． 2022-04-17 20:48:49
25859 59102a1840fdc7000a51cf53 高中 解答题 高中习题 将一枚均匀的硬币连续抛掷 $n$ 次，以 ${p_n}$ 表示未出现连续 $3$ 次正面的概率． 2022-04-17 20:47:49
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