设 $a$ 和 $b$ 是两个整数，如果 $a-b$ 能够被正整数 $n$ 整除，则称 $a$ 和 $b$ 是模 $n$ 同余的，记为 $a\equiv b\pmod{n}$．已知正整数 $a$ 满足 $a\equiv3\pmod{4}$，求证：$x^2+y^2=a$ 无整数解．
【难度】
【出处】
2015年全国高中数学联赛新疆预赛
【标注】
【答案】
略
【解析】
设 $x,y$ 为任意两个整数，根据 $x$ 和 $y$ 的奇偶性来分情况讨论．
情形一 当 $x,y$ 都为奇数，即$$x=2k_1+1,y=2k_2+1$$时，则$$x^2+y^2=4(k_1^2+k_2^2+k_1+k_2)+2\equiv2\pmod{4}.$$从而 $x^2+y^2\ne a$．
情形二 当 $x,y$ 为一奇一偶，不妨设$$x=2k_1+1,y=2k_2,$$则$$x^2+y^2=4(k_1^2+k_2^2+k_1)+1\equiv1\pmod{4}.$$从而 $x^2+y^2\ne a$．
情形三 当 $x$ 为偶数，$y$ 为偶数，即$$x=2k_1,y=2k_2$$时，则$$x^2+y^2=4(k_1^2+k_2^2)\equiv0\pmod{4}.$$从而 $x^2+y^2\ne a$．
综上所述，对任意整数 $x,y$ 都有 $x^2+y^2\ne a$．
综上所述，对任意整数 $x,y$ 都有 $x^2+y^2\ne a$．
答案
解析
备注
