已知 $n\geqslant 23$ 且 $n\in\mathbb N^*$，求证：$2<1+\dfrac 1{\sqrt{2^3}}+\dfrac 1{\sqrt{3^3}}+\cdots +\dfrac 1{\sqrt{n^3}}<3$．
【难度】
【出处】
2011年全国高中数学联赛河北省预赛
【标注】
【答案】
略
【解析】
考虑到\[\dfrac{1}{\sqrt k}-\dfrac{1}{\sqrt{k+1}}=\dfrac{\sqrt{k+1}-\sqrt k}{\sqrt k\cdot \sqrt{k+1}}=\dfrac{1}{\sqrt{k}\cdot \sqrt{k+1}\cdot \left(\sqrt{k+1}+\sqrt k\right)},\]于是当 $k\geqslant 2$ 时，有\[\dfrac{1}{\sqrt k}-\dfrac{1}{\sqrt{k+1}}<\dfrac{1}{2\sqrt{k^3}}<\dfrac{1}{\sqrt{k-1}}-\dfrac{1}{\sqrt{k}},\]因此\[2\left(\dfrac{1}{\sqrt 2}-\dfrac{1}{\sqrt{n+1}}\right)<\sum_{k=2}^{n}\dfrac{1}{\sqrt{k^3}}<2\left(1-\dfrac{1}{\sqrt n}\right),\]从而当 $n\geqslant 23$ 时，有\[2\left(\dfrac{1}{\sqrt 2}-\dfrac{1}{\sqrt{23+1}}\right)+1<\sum_{k=1}^n\dfrac{1}{\sqrt{k^3}}<2(1-0)+1,\]即\[1+\sqrt 2-\dfrac{1}{\sqrt 6}<\sum_{k=1}^n\dfrac{1}{\sqrt{k^3}}<3.\]注意到\[1+\sqrt 2-\dfrac{1}{\sqrt 6}>2+\sqrt 2-1-\dfrac{1}{\sqrt 2+1}>2,\]于是原不等式得证．
答案
解析
备注
