设 $M=2^{n_1}+2^{n_2}+\cdots +2^{n_s}$，$n_1,n_2,\cdots ,\cdots ,n_s$ 是互不相同的正整数，求证：$$2^{\frac{n_1}{2}}+2^{\frac{n_2}{2}}+\cdots +2^{\frac{n_s}{2}}<(1+\sqrt 2)\sqrt M.$$
【难度】
【出处】
2009年全国高中数学联赛江苏省复赛（二试）
【标注】
【答案】
略
【解析】
对 $s$ 用数学归纳法．
归纳基础 当 $s=1$ 时，结论显然成立．
递推证明 假设 $s=k$ 时结论成立．
当 $s=k+1$ 时，不妨设$$n_1>n_2>\cdots >n_k>n_{k+1}.$$由归纳假设可知$$2^{\frac{n_2}{2}}+\cdots +2^{\frac{n_{k+1}}{2}}<\left(1+\sqrt 2\right)\sqrt{M-2^{n_1}},$$则$$2^{\frac{n_1}{2}}+2^{\frac{n_2}{2}}+\cdots +2^{\frac{n_k}{2}}+2^{\frac{n_{k+1}}{2}}<\left(1+\sqrt 2\right)\sqrt{M-2^{n_1}}+2^{\frac{n_1}{2}},$$所以只要证明$$\left(1+\sqrt 2\right)\sqrt{M-2^{n_1}}+2^{\frac{n_1}{2}}<\left(1+\sqrt 2\right)\sqrt M,$$此即$$\dfrac{\left(1+\sqrt 2\right)\cdot 2^{\frac{n_1}{2}}}{\sqrt M}+\sqrt{M-2^{n_1}}>1.$$因为正整数$$n_1>n_2>\cdots >n_k>n_{k+1},$$所以\[\begin{split}2^{n_1}&\geqslant 2^{n_2+1}\\ & >2^{n_2}+2^{n_2-1}+\cdots +2+1\\& \geqslant 2^{n_2}+2^{n_3}+\cdots +2^{n_k+1},\end{split}\]故\[\begin{split}&\sqrt M =\sqrt{2^{n_1}+2^{n_2}+\cdots +2^{n_k}+2^{n_{k+1}}}<\sqrt{2\cdot 2^{n_1}},\\ &\sqrt{M-2^{n_1}}=\sqrt{2^{n_2}+\cdots +2^{n_{k+1}}}<\sqrt{2^{n_1}},\end{split}\]所以$$\dfrac{\left(1+\sqrt 2\right)\cdot 2^{\frac{n_1}{2}}}{\sqrt m +\sqrt{M-2^{n_1}}}>\dfrac{\left(1+\sqrt 2\right)\cdot 2^{\frac{n_1}{2}}}{\sqrt{2\cdot 2^{n_1}}+\sqrt{2^{n_1}}}=1,$$即 $s=k+1$ 时命题成立．
因此，由数学归纳法可知，命题对所有正整数 $s$ 成立．
当 $s=k+1$ 时，不妨设$$n_1>n_2>\cdots >n_k>n_{k+1}.$$由归纳假设可知$$2^{\frac{n_2}{2}}+\cdots +2^{\frac{n_{k+1}}{2}}<\left(1+\sqrt 2\right)\sqrt{M-2^{n_1}},$$则$$2^{\frac{n_1}{2}}+2^{\frac{n_2}{2}}+\cdots +2^{\frac{n_k}{2}}+2^{\frac{n_{k+1}}{2}}<\left(1+\sqrt 2\right)\sqrt{M-2^{n_1}}+2^{\frac{n_1}{2}},$$所以只要证明$$\left(1+\sqrt 2\right)\sqrt{M-2^{n_1}}+2^{\frac{n_1}{2}}<\left(1+\sqrt 2\right)\sqrt M,$$此即$$\dfrac{\left(1+\sqrt 2\right)\cdot 2^{\frac{n_1}{2}}}{\sqrt M}+\sqrt{M-2^{n_1}}>1.$$因为正整数$$n_1>n_2>\cdots >n_k>n_{k+1},$$所以\[\begin{split}2^{n_1}&\geqslant 2^{n_2+1}\\ & >2^{n_2}+2^{n_2-1}+\cdots +2+1\\& \geqslant 2^{n_2}+2^{n_3}+\cdots +2^{n_k+1},\end{split}\]故\[\begin{split}&\sqrt M =\sqrt{2^{n_1}+2^{n_2}+\cdots +2^{n_k}+2^{n_{k+1}}}<\sqrt{2\cdot 2^{n_1}},\\ &\sqrt{M-2^{n_1}}=\sqrt{2^{n_2}+\cdots +2^{n_{k+1}}}<\sqrt{2^{n_1}},\end{split}\]所以$$\dfrac{\left(1+\sqrt 2\right)\cdot 2^{\frac{n_1}{2}}}{\sqrt m +\sqrt{M-2^{n_1}}}>\dfrac{\left(1+\sqrt 2\right)\cdot 2^{\frac{n_1}{2}}}{\sqrt{2\cdot 2^{n_1}}+\sqrt{2^{n_1}}}=1,$$即 $s=k+1$ 时命题成立．
因此，由数学归纳法可知，命题对所有正整数 $s$ 成立．
答案
解析
备注
