有 $n$ 把看上去样子相同的钥匙，其中只有一把能把大门上的锁打开．设抽取钥匙是相互独立且等可能的，每把钥匙试开后不再放回，求试开次数 $\epsilon$ 的分布列及数学期望 $E(\epsilon)$．
【难度】
【出处】
2009年全国高中数学联赛贵州省预赛
【标注】
【答案】
$\epsilon$ 的分布列为\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline
\epsilon&1&2&\cdots &n\\ \hline P&\dfrac 1n&\dfrac 1n&\cdots &\dfrac 1n \\ \hline\end{array}\]$E(\epsilon) =\dfrac {n+1}{2}$
\epsilon&1&2&\cdots &n\\ \hline P&\dfrac 1n&\dfrac 1n&\cdots &\dfrac 1n \\ \hline\end{array}\]$E(\epsilon) =\dfrac {n+1}{2}$
【解析】
由题意得$$\begin{split}&P(\epsilon=1)=\dfrac 1n,\\&P(\epsilon=2)=\dfrac {n-1}{n}\cdot \dfrac {1}{n-1}=\dfrac 1n,\\&\cdots\cdots \\&P(\epsilon=n)=\dfrac {n-1}{n}\cdot \dfrac {n-2}{n-1}\cdots\cdot \dfrac 12\cdot 1=\dfrac 1n,\end{split}$$所以 $\epsilon$ 的分布列为\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline
\epsilon&1&2&\cdots &n\\ \hline P&\dfrac 1n&\dfrac 1n&\cdots &\dfrac 1n \\ \hline\end{array}\]故$$E(\epsilon) =1\cdot \dfrac 1n +2\cdot \dfrac 1n +\cdots +n\cdot \dfrac 1n=\dfrac {n+1}{2}.$$
\epsilon&1&2&\cdots &n\\ \hline P&\dfrac 1n&\dfrac 1n&\cdots &\dfrac 1n \\ \hline\end{array}\]故$$E(\epsilon) =1\cdot \dfrac 1n +2\cdot \dfrac 1n +\cdots +n\cdot \dfrac 1n=\dfrac {n+1}{2}.$$
答案
解析
备注
