已知函数 $f(x)=-2x+4$，令$$S_n=f\left(\dfrac 1n\right)+f\left(\dfrac 2n\right)+\cdots +f\left(\dfrac{n-1}{n}\right)+f(1)(n\in\mathbb N^*),$$若不等式 $\dfrac{a^n}{S_n}<\dfrac{a^{n+1}}{S_{n+1}}$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围．
【难度】
【出处】
2009年全国高中数学联赛贵州省预赛
【标注】
【答案】
$\left(\dfrac 52,+\infty\right)$
【解析】
由条件知$$S_n=-2\left(\dfrac 1n+\dfrac 2n+\cdots +\dfrac{n-1}{n}+1\right)+4n=3n-1.$$由 $\dfrac{a^n}{S_n}<\dfrac{a^{n+1}}{S_{n+1}}$，得$$a^n\left(\dfrac 1{3n-1}-\dfrac a{3n+2}\right)<0,\cdots \text{ ① }$$显然 $a\ne 0$，分两种情况讨论．
情形一 当 $a<0$ 时，$$\dfrac 1{3n-1}-\dfrac a{3n+2}>0$$恒成立，则 $a^n<0$．
当 $n$ 为偶数时，$a^n>0$，矛盾，所以 $a<0$ 不合题意．
情形二 当 $a>0$ 时，因为 $a^n>0$，由 ① 式得$$a>\dfrac{3n+2}{3n-1}=1+\dfrac 3{3n-1}.$$由于 $\dfrac 3{3n-1}$ 随 $n$ 的增大而减小，故当 $n=1$ 时，$$\left(1+\dfrac 3{3n-1}\right)_{max}=\dfrac 52,$$从而 $a>\dfrac 52$．
综上知 $a\in \left(\dfrac 52,+\infty\right)$．
当 $n$ 为偶数时，$a^n>0$，矛盾，所以 $a<0$ 不合题意．
综上知 $a\in \left(\dfrac 52,+\infty\right)$．
答案
解析
备注
