若实数 $a,b,c$ 满足 $2^a+4^b=2^c$，$4^a+2^b=4^c$，求 $c$ 的最小值．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\log_23-\dfrac53$
【解析】
将 $2^a,2^b,2^c$ 分别记为 $x,y,z$，则 $x,y,z>0$．
由条件知 $x+y^2=z,x^2+y=z^2$，故$$z^2-y=x^2=(z-y^2)^2=z^2-2y^2z+y^4.$$因此，结合平均值不等式可得$$z=\dfrac{y^4+y}{2y^2}=\dfrac14\left(2y^2+\dfrac1y+\dfrac1y\right)\geqslant\dfrac34\sqrt[3]{2}.$$当 $2y^2=\dfrac1y$，即 $y=\dfrac{1}{\sqrt[3]{2}}$ 时，$z$ 的最小值为 $\dfrac34\sqrt[3]{2}$．
由于 $c=\log_2z$，故 $c$ 的最小值为 $\log_23-\dfrac53$．
由条件知 $x+y^2=z,x^2+y=z^2$，故$$z^2-y=x^2=(z-y^2)^2=z^2-2y^2z+y^4.$$因此，结合平均值不等式可得$$z=\dfrac{y^4+y}{2y^2}=\dfrac14\left(2y^2+\dfrac1y+\dfrac1y\right)\geqslant\dfrac34\sqrt[3]{2}.$$当 $2y^2=\dfrac1y$，即 $y=\dfrac{1}{\sqrt[3]{2}}$ 时，$z$ 的最小值为 $\dfrac34\sqrt[3]{2}$．
由于 $c=\log_2z$，故 $c$ 的最小值为 $\log_23-\dfrac53$．
答案
解析
备注
