设 $a_1,a_2,a_3,a_4$ 是 $4$ 个有理数，使得$$\{a_ia_j\mid 1\leqslant i<j\leqslant4\}=\left\{-24,-2,-\dfrac32,-\dfrac18,1,3\right\},$$求 $a_1+a_2+a_3+a_4$ 的值．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\pm\dfrac94$
【解析】
由条件知，$a_ia_j$（$1\leqslant i<j\leqslant4$）是 $6$ 个互不相同的数，且其中没有两个为相反数，由此知，$a_1,a_2,a_3,a_4$ 的绝对值互不相等，不妨设 $|a_1|<|a_2|<|a_3|<|a_4|$，则 $|a_i||a_j|$（$1\leqslant i<j\leqslant4$）中最小的与次小的两个数分别是 $|a_1||a_2|$ 及 $|a_1||a_3|$，最大与次大的两个数分别是 $|a_3||a_4|$ 及 $|a_2||a_4|$，从而必须有$$\begin{cases}a_1a_2=-\dfrac18,\\a_1a_3=1,\\a_2a_4=3,\\a_3a_4=-24,\end{cases}$$于是 $a_2=-\dfrac{1}{8a_1},a_3=\dfrac{1}{a_1},a_4=-24a_1$，故$$\{a_2a_3,a_1a_4\}=\left\{-\dfrac{1}{8a_1^2},-24a_1^2\right\}=\left\{-2,-\dfrac32\right\},$$结合 $a_1\in\mathbb Q$，只可能 $a_1=\pm\dfrac14$．因此有$$\begin{cases}a_1=\dfrac14,\\a_2=-\dfrac12,\\a_3=4,\\a_4=-6.\end{cases}\lor\begin{cases}a_1=-\dfrac14,\\a_2=\dfrac12,\\a_3=-4,\\a_4=6.\end{cases}$$经检验均符合题意，故 $a_1+a_2+a_3+a_4=\pm\dfrac94$．
答案
解析
备注
