若 $F_1,F_2$ 分别为双曲线 $\dfrac{y^2}{a^2}-\dfrac{x^2}{b^2}=1$ 的下、上焦点，$O$ 为坐标原点，$P$ 在双曲线的下支上，点 $M$ 在准线上．且满足：$\overrightarrow{F_2O}=\overrightarrow {MP}$，$\overrightarrow{F_1M}=\lambda \left(\dfrac{\overrightarrow{F_1P}}{\left|\overrightarrow{F_1P}\right|}+\dfrac{\overrightarrow{F_1O}}{\left|\overrightarrow{F_1O}\right|}\right)$（$\lambda>0$）．
【难度】
【出处】
2009年全国高中数学联赛黑龙江省预赛
【标注】
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求此双曲线的离心率 $e$；标注答案$2$解析由已知$$\overrightarrow{F_2O}=\overrightarrow{MP}=\overrightarrow{OF_1},$$所以 $MPF_1O$ 为平行四边形．
又因为$$\overrightarrow{F_1M}=\lambda \left(\dfrac{\overrightarrow{F_1P}}{\left|\overrightarrow{F_1P}\right|}+\dfrac{\overrightarrow{F_1O}}{\left|\overrightarrow{F_1O}\right|}\right),$$所以 $MPF_1O$ 为菱形．
因为\[\begin{split}e&=\dfrac{|PF_1|}{|PM|-2-\dfrac{a^2}{c}}\\&=\dfrac{c}{c-\dfrac{2a^2}{c}}\\&=\dfrac{c^2}{c^2-2a^2}\\&=\dfrac{e^2}{e^2-2},\end{split}\]解得 $e=2$． -
若此双曲线过 $N(\sqrt 3,2)$，求此双曲线的方程；标注答案$\dfrac{y^2}{3}-\dfrac{x^2}{9}=1$解析因为 $\dfrac ca =2$，所以$$\dfrac{b^2}{a^2}=3.$$设 $\dfrac{y^2}{a^2}-\dfrac{x^2}{3a^2}=1$．
因为 $N(\sqrt 3,2)$ 在双曲线上，代入解得 $a^2=3$．
故双曲线方程为$$\dfrac{y^2}{3}-\dfrac{x^2}{9}=1,$$ -
若过 $N(\sqrt 3,2)$ 的双曲线的虚轴端点分别为 $B_1,B_2$（$B_2$ 在 $x$ 轴的正半轴上），点 $A,B$ 在双曲线上，且 $\overrightarrow{B_2A}=\mu \overrightarrow{B_2B}$，求 $\overrightarrow{B_1A}\perp \overrightarrow{B_1B}$ 时，直线 $AB$ 的方程．标注答案$x=\pm y+3$解析因为 $\overrightarrow{B_2A}=\mu \overrightarrow{B_2B}$，所以 $l_{AB}$ 过点 $B_2$．
因为 $B_2(3,0)$，设 $l_{AB}:x=ky+3$，与 $\dfrac{y^2}{3}-\dfrac{x^2}{9}=1$ 联立，得$$(3-k^2)y^2-6ky-18=0,$$所以$$\begin{cases}y_1+y_2=\dfrac{6k}{3-k^2},\\ y_1y_2=\dfrac{-18}{3-k^2}.\end{cases}$$因为$$x_1x_2+y_1y_2=0,$$所以 $k=\pm 1$，故 $l_{AB}:x=\pm y+3$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
问题3
答案3
解析3
备注3
