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已知：$f(x,y)=x^3+y^3+x^2y+xy^2-3(x^2+y^2+xy)+3(x+y)$，且 $x,y\geqslant \dfrac 12$，求 $f(x,y)$ 的最小值．
【难度】
【出处】
2011年全国高中数学联赛河北省预赛
【标注】
  • 知识点
    >
    微积分初步
    >
    利用导数研究函数的性质
    >
    利用导数研究函数的切线
  • 知识点
    >
    微积分初步
    >
    导数的运算
【答案】
$1$
【解析】
情形一 当 $x\ne y$ 时，两边同乘 $x-y$ 得$$(x-y)f(x,y)=(x^4-y^4)-3(x^3-y^3)+3(x^2-y^2).$$令 $g(x)=x^4-3x^3+3x^2$，则$$f(x,y)=\dfrac{g(x)-g(y)}{x-y}$$为 $g(x)=x^4-3x^3+3x^2$ 图象上两点的斜率．
情形二 当 $x=y$ 时，有$$f(x,y)=4x^3-9x^2+6x.$$由以上讨论可以看出，只需求 $g(x)$ 在 $x\geqslant \dfrac 12$ 上的导函数$$h(x)=4x^3-9x^2+6x$$的最小值．
易求得当 $x\geqslant \dfrac 12$ 时，$h(x)=4x^3-9x^2+6x$ 最小值为 $1$．
答案 解析 备注
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