设 $a,b$ 是正数，且 $a\ne 1$，$b\ne 1$，求证：$\dfrac{a^5-1}{a^4-1}\cdot \dfrac{b^5-1}{b^4-1}>\dfrac{25}{64}(a+1)(b+1)$．
【难度】
【出处】
2009年全国高中数学联赛江苏省复赛
【标注】
【答案】
略
【解析】
因为$$\dfrac{a^5-1}{a^4-1}=\dfrac{a^4+a^3+a^2+a+1}{a^3+a^2+a+1},$$且\[\begin{split}&8(a^4+a^3+a^2+a+1)-5(a^3+a^2+a+1)(a+1)\\=&3a^4-2a^3-2a^2-2a+3\\=&(a^4-2a^2+1)+2(a^4-a^3-a+1)\\=&(a^2-1)^2+2(a-1)^2(a^2+a+1)\\>&0,(a\ne 1)\end{split}\]所以$$\dfrac{a^4+a^3+a^2+a+1}{a^3+a^2+a+1}>\dfrac 58(a+1),$$即$$\dfrac{a^5-1}{a^4-1}>\dfrac 58(a+1).$$同理可证$$\dfrac{b^5-1}{b^4-1}>\dfrac 58(b+1).$$于是$$\dfrac{a^5-1}{a^4-1}\cdot \dfrac{b^5-1}{b^4-1}>\dfrac{25}{64}(a+1)(b+1).$$
答案
解析
备注
