已知平行四边形 $ABCD$ 满足 $\angle{BAD}=90^{\circ}$，向四边形外部作 $\triangle{DCE}$ 和 $\triangle{BCF}$ 使得 $\angle{EDC}=\angle{CBF}$，$\angle{DCE}=\angle{BFC}$，连结 $EF$，向 $\triangle{CEF}$ 外部作 $\triangle{EFG}$ 使得 $\angle{FEG}=\angle{CED}$．证明：$\triangle{AEF}\cong \triangle{GEF}$．
【难度】
【出处】
2009年全国高中数学联赛安徽省预赛
【标注】
【答案】
略
【解析】
由题意知$$\triangle{EDC}\backsim \triangle{CBF}\backsim \triangle{EGF}.$$以 $D$ 为原点，$\overrightarrow{DC}$ 为实轴正方形建立复坐标系．
设 $C=c$，$A=a{\rm e}^{{\rm i}\theta}$，$E=b{\rm e}^{{\rm i}\varphi}$，则\[\begin{split}&B=c+a{\rm e}^{{\rm i}\theta},\\ &F=c+a{\rm e}^{{\rm i}\theta}-\dfrac{ac}{b}{\rm e}^{{\rm i}(\theta-\varphi)},\\ &F-A=\dfrac cb {\rm e}^{-{\rm i}\varphi}(E-A),\\ &\angle{EAF}=\angle{EDC}=\angle{EGF},\\&\dfrac{AF}{AE}=\dfrac{DC}{DE}=\dfrac{GF}{GE},\end{split}\]因此 $\triangle{AEF}\cong \triangle{GEF}$．
设 $C=c$，$A=a{\rm e}^{{\rm i}\theta}$，$E=b{\rm e}^{{\rm i}\varphi}$，则\[\begin{split}&B=c+a{\rm e}^{{\rm i}\theta},\\ &F=c+a{\rm e}^{{\rm i}\theta}-\dfrac{ac}{b}{\rm e}^{{\rm i}(\theta-\varphi)},\\ &F-A=\dfrac cb {\rm e}^{-{\rm i}\varphi}(E-A),\\ &\angle{EAF}=\angle{EDC}=\angle{EGF},\\&\dfrac{AF}{AE}=\dfrac{DC}{DE}=\dfrac{GF}{GE},\end{split}\]因此 $\triangle{AEF}\cong \triangle{GEF}$．
答案
解析
备注
