设 $P$ 为椭圆 $\dfrac{x^2}{25}+\dfrac{y^2}{16}=1$ 长轴上一个动点，过 $P$ 点斜率为 $k$ 的直线交椭圆于 $A,B$ 两点．若 $|PA|^2+|PB|^2$ 的值仅依赖于 $k$ 而与 $P$ 无关，求 $k$ 的值．
【难度】
【出处】
2012年全国高中数学联赛浙江省预赛
【标注】
【答案】
$\pm\dfrac45$
【解析】
设 $A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$，过点 $P$ 且斜率为 $k$ 的直线方程为$$y=k(x-a).$$由$$\begin{cases}y=k(x-a),\\ \dfrac{x^2}{25}+\dfrac{y^2}{16}=1,\end{cases}$$得$$x_1+x_2=\dfrac{50ak^2}{16+25k^2},x_1x_2=-\dfrac{25a^2k^2-400}{16+25k^2},$$所以$$y_1+y_2=-\dfrac{32ak}{16+25k^2},y_1y_2=\dfrac{(16a^2-400)k^2}{16+25k^2},$$故\[\begin{split}&|PA|^2+|OB|^2\\=&(x_1-a)^2+y_1^2+(x_2-a)^2+y_2^2\\=&(x_1+x_2)^2-2x_1x_2-2a(x_1+x_2)+(y_1+y_2)^2-2y_1y_2+2a^2\\=&(k^2+1)\cdot\dfrac{(512-800k^2)a^2+800(16+25k^2)}{(16+25k^2)^2}.\end{split}\]令$$512-800k^2=0,$$解得 $k=\pm\dfrac45$．
答案
解析
备注
