求证：$\displaystyle \dfrac{n}{{2n+1}} \leqslant \sum\limits_{k=1}^n {\dfrac{1}{{{3^k}}}}<\dfrac{1}{2}$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
由于$$\sum\limits_{k=1}^n {\dfrac{1}{{{3^k}}}}=\dfrac{{\dfrac{1}{3}\left( {1-\dfrac{1}{{{3^n}}}} \right)}}{{1-\dfrac{1}{3}}}=\dfrac{1}{2}\left( {1-\dfrac{1}{{{3^n}}}} \right)$$于是右边不等式显然成立．
而$${3^n}={\left( {1+2} \right)^n} \geqslant 1+2n,$$于是左边不等式成立．
而$${3^n}={\left( {1+2} \right)^n} \geqslant 1+2n,$$于是左边不等式成立．
答案
解析
备注
