已知函数 $f\left(x\right) = x^3 -x$，其图象记为曲线 $ C$．
（i）求函数 $f \left(x\right) $ 的单调区间；
（ii）证明：若对于任意非零实数 ${ x _1}$，曲线 $ C $ 与其在点 ${P_1}\left({x_1},f\left({x_1}\right)\right)$ 处的切线交于另一点 ${P_2}\left({x_2},f\left({x_2}\right)\right)$，曲线 $ C $ 与其在点 ${P_2}\left({x_2},f\left({x_2}\right)\right)$ 处的切线交于另一点 ${P_3}\left({x_3},f\left({x_3}\right)\right)$，线段 $P_1P_2,P_2P_3 $ 与曲线 $ C $ 所围成封闭图形的面积分别记为 $ {S_1}, S _ 2 $，则 $ \dfrac{S_1}{S_2} $ 为定值；
（i）求函数 $f \left(x\right) $ 的单调区间；
（ii）证明：若对于任意非零实数 ${ x _1}$，曲线 $ C $ 与其在点 ${P_1}\left({x_1},f\left({x_1}\right)\right)$ 处的切线交于另一点 ${P_2}\left({x_2},f\left({x_2}\right)\right)$，曲线 $ C $ 与其在点 ${P_2}\left({x_2},f\left({x_2}\right)\right)$ 处的切线交于另一点 ${P_3}\left({x_3},f\left({x_3}\right)\right)$，线段 $P_1P_2,P_2P_3 $ 与曲线 $ C $ 所围成封闭图形的面积分别记为 $ {S_1}, S _ 2 $，则 $ \dfrac{S_1}{S_2} $ 为定值；
【难度】
【出处】
2010年高考福建卷（理）
【标注】
【答案】
（i）$ f\left(x\right) $ 的单调递增区间为 $ \left(-\infty ,-\dfrac {\sqrt 3} 3 \right) $ 和 $ \left(\dfrac {\sqrt 3} 3 ,+\infty\right) $，单调递减区间为 $ \left(-\dfrac {\sqrt 3} 3 ,\dfrac {\sqrt 3} 3 \right) $
（ii）略
（ii）略
【解析】
（i）因为$$f'\left(x\right) =\left(\sqrt 3 x+1 \right)\left(\sqrt 3x-1 \right) ,$$所以 $ f\left(x\right) $ 的单调递增区间为 $ \left(-\infty ,-\dfrac {\sqrt 3} 3 \right) $ 和 $ \left(\dfrac {\sqrt 3} 3 ,+\infty\right) $，单调递减区间为 $ \left(-\dfrac {\sqrt 3} 3 ,\dfrac {\sqrt 3} 3 \right) $．
（ii）因为$$f'\left(x\right) =3x^2-1,$$所以 $P(x_{1},x_{1}^{3}-x_{1})$ 处切线斜率为 $f'(x_{1})=3x_{1}^{2}-1$，因此过点 $P_{1}$ 的切线方程为$$ y=\left(3x_1^2 -1\right) \left(x-x_1\right)+x_1^3 -x_1 ,$$与曲线方程联立\[\begin{cases} y=\left(3x_1^2-1\right)x -2x_1^3 , \\ y =x^3-x, \end{cases}\]得$$x^{3}-3x_{1}^{2}x+2x_{1}^{3}=0,$$即\[ \left(x-x_1\right)^2\left(x+2x_1\right) = 0 , \]所以 $P_{2}(-2x_{1},-8x_{1}^{3}+2x_{1})$．
类似的 $P_{3}\left(-2x_{2},-8x_{2}^{3}+2x_{2}\right)$，即 $P_{3}\left(4x_{1},64x_{1}^{3}-4x_{1}\right)$．计算得$$S_1=\dfrac {27}{4}x_1^4,S_2=108x_1^4,$$所以$$\dfrac{S_{1}}{S_{2}}=\dfrac{1}{16}.$$
（ii）因为$$f'\left(x\right) =3x^2-1,$$所以 $P(x_{1},x_{1}^{3}-x_{1})$ 处切线斜率为 $f'(x_{1})=3x_{1}^{2}-1$，因此过点 $P_{1}$ 的切线方程为$$ y=\left(3x_1^2 -1\right) \left(x-x_1\right)+x_1^3 -x_1 ,$$与曲线方程联立\[\begin{cases} y=\left(3x_1^2-1\right)x -2x_1^3 , \\ y =x^3-x, \end{cases}\]得$$x^{3}-3x_{1}^{2}x+2x_{1}^{3}=0,$$即\[ \left(x-x_1\right)^2\left(x+2x_1\right) = 0 , \]所以 $P_{2}(-2x_{1},-8x_{1}^{3}+2x_{1})$．
类似的 $P_{3}\left(-2x_{2},-8x_{2}^{3}+2x_{2}\right)$，即 $P_{3}\left(4x_{1},64x_{1}^{3}-4x_{1}\right)$．计算得$$S_1=\dfrac {27}{4}x_1^4,S_2=108x_1^4,$$所以$$\dfrac{S_{1}}{S_{2}}=\dfrac{1}{16}.$$
答案
解析
备注
