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  数论初步

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  余弦定理

略

由余弦定理，$$ \cos A =\dfrac {AB^2+AC^2-BC^2} {2AB \cdot AC},$$因为 $ AB$，$BC$，$AC $ 是有理数，所以 $ \cos A$ 是有理数．

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  数学归纳法

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  螺旋数学归纳法

略

考虑到$$\cos\left[(n+1)A\right]=\cos\left(nA+A\right)=\cos nA\cos A-\sin nA\sin A,$$可以用数学归纳法证明命题．
对任意正整数 $n$，$ \cos n A $ 和 $ \sin A \cdot \sin n A $ 都是有理数．
归纳基础当 $n=1 $ 时，$ \cos A $ 是有理数，从而有 $ \sin A \cdot \sin A = 1- {\cos^2} A $ 也是有理数．
递推证明假设当 $n=k\left(k\geqslant 1\right) $ 时，$ \cos k A $ 和 $ \sin A \cdot \sin k A $ 都是有理数．
当 $n=k+1 $ 时，由\[ \begin{split}\cos \left(k+1\right)A& = \cos A \cdot \cos k A - \sin A \cdot \sin k A, \\ \sin A \cdot \sin \left(k+1\right) A &=\sin A \cdot \left(\sin A \cdot \cos kA + \cos A \cdot \sin kA\right) \\&= \left(\sin A \cdot \sin A\right) \cdot \cos kA +\left(\sin A \cdot \sin kA \right) \cdot \cos A,\end{split} \]所以 $ \cos \left(k+1\right)A$ 与 $ \sin A \cdot \sin \left(k+1\right) A $ 都是有理数，即当 $ n=k+1$ 时，结论成立．
综上，命题得证．