题目 已知集合 ${S_n} = \left\{ X \mid X = \left({x_1},{x_2}, \ldots ,{x_n}\right),{x_i} \in \left\{ 0,1\right\} ,i = 1,2, \cdots ,n\right\} \left(n \geqslant 2\right)$，对于 $A = \left({a_1},{a_2}, \cdots , {a_n} \right)$，$B = \left({b_1},{b_2}, \cdots {b_n},\right) \in {S_n}$，定义 $ A $ 与 $ B $ 的差为 $A - B = \left(|{a_1} - {b_1}|,|{a_2} - {b_2}|, \cdots ,|{a_n} - b_n|\right)$；$ A $ 与 $ B $ 之间的距离为 $\displaystyle d\left(A,B\right) = \sum\limits_{i = 1}^{n} |{a_i} - {b_i}|$． 问题1 证明：$\forall A,B,C \in {S_n}$，有 $A - B \in {S_n}$，且 $d\left(A - C,B - C\right) = d\left(A,B\right)$； 答案1 略 解析1 因为 $a_{i}\in\{0,1\}$，$b_{i}\in\{0,1\}$，所以 $\left|a_{i}-b_{i}\right|\in\{0,1\}$，因此 $A-B\in S_{n}$．<br/>若 $a_{i}=b_{i}$，则 $\left|a_{i}-b_{i}\right|=0$，且 $\big|\left|a_{i}-c_{i}\right|-\left|b_{i}-c_{i}\right|\big|=0$；<br/>若 $a_{i}\ne b_{i}$，则 $\left|a_{i}-b_{i}\right|=1$，且 $\big|\left|a_{i}-c_{i}\right|-\left|b_{i}-c_{i}\right|\big|=0$．<br/>于是 $\left(A-C\right)-\left(B-C\right)=A-B$，因此 $d(A-C,B-C)=d(A,B)$． 备注1 问题2 证明：$\forall A,B,C \in {S_n}$，$ d\left(A,B\right)$，$d\left(A,C\right)$，$d\left(B,C\right)$ 三个数中至少有一个是偶数； 答案2 略 解析2 考虑$$\left|a_{i}-b_{i}\right|+\left|b_{i}-c_{i}\right|+\left|a_{i}-c_{i}\right|,$$显然该式恒为偶数，因此\[d(A,B)+d(B,C)+d(A,C)\]为偶数，于是 $d(A,B),d(A,C),d(B,C)$ 三个数中至少有一个是偶数． 备注2 问题3 设 $ P \subseteq {S_n}$，$ P $ 中有 $ m\left(m\geqslant 2\right) $ 个元素，记 $ P $ 中所有两元素间距离的平均值为 $\bar d \left(P\right)$．证明：$\bar d \left(P\right)\leqslant \dfrac{mn}{2\left(m - 1\right)}$． 答案3 略 解析3 如下表，显然所有两元素间距离共有 ${\rm C}_{m}^{2}=\dfrac{m(m-1)}{2}$ 个．\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}\hline & 1&2&3&4&\cdots&n\\ \hline 1&0&1&0&0&\cdots&0\\ \hline 2&1&1&1&0&\cdots&1\\ \hline \cdots&\cdots&\cdots&\cdots&\cdots&\cdots&\cdots\\ \hline m&1&1&1&0&0&1\\ \hline\end{array}\]接下来按列求所有两元素间距离，设某列中有 $x$ 个 $0$，$m-x$ 个 $1$，则其两两距离之和为$$x(m-x)\leqslant \dfrac{m^{2}}{4},$$因此所有元素间距离之和不超过 $\dfrac{m^{2}}{4}\cdot n$，于是$$\bar d(P)\leqslant \dfrac{\dfrac{m^{2}}{4}\cdot n}{\dfrac{m(m-1)}{2}}=\dfrac{mn}{2(m-1)},$$原命题得证． 备注3