如图，二次函数 $y=-x^2-2x+3$ 经过点 $A\left(- 3,0\right)$，点 $C\left(0,3\right)$，点 $D$ 为二次函数的顶点，$DE$ 为二次函数的对称轴，$E$ 在 $x$ 轴上，$DE$ 的左侧抛物线上是否存在点 $F$，使 $2S_{\triangle FBC}=3 S_{\triangle EBC}$，若存在求出点 $F$ 的坐标，若不存在请说明理由．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
存在，点 $F$ 的坐标为 $\left(\dfrac{1-\sqrt{37}}{2},\dfrac{3\sqrt{37}-15}{2}\right)$
【解析】
因为 $S_{\triangle EBC}=3$ $2S_{\triangle FBC}=3 S_{\triangle EBC}$，
所以 $S_{\triangle FBC} =\dfrac92$．
过点 $F$ 作 $FQ\perp x$ 轴交 $ x $ 轴于点 $ P $，交 $BC$ 延长线于 $Q$，
则
$\begin{split}S_{\triangle FBC}&=S_{\triangle PQB}-S_{\triangle PFB}-S_{\triangle QFC}\\ &=\dfrac12BP\cdot PQ-\dfrac12BP\cdot PF-\dfrac12FQ\cdot OP\\ &=\dfrac12BP\cdot \left(PQ-PF\right)-\dfrac12FQ\cdot OP\\ &=\dfrac12BP\cdot FQ-\dfrac12FQ\cdot OP\\ &=\dfrac12FQ\cdot\left(BP -OP\right)\\ &=\dfrac12FQ\cdot OB\\ &=\dfrac12 FQ.\end{split}$
所以 $\dfrac12 FQ=\dfrac92$，
所以 $FQ=9$．
由 $ B $、$ C $ 两点坐标可得直线 $BC$ 的解析式为 $y=-3x+3$．
设 $F\left(x_0,-x_0^2-2x_0+3\right)$，
所以 $-3x_0+3+x_0^2+2x_0-3=9$，
所以 $x_0^2-x_0-9=0$，
所以 $x_0=\dfrac{1\pm\sqrt{37}}{2}$，
由点 $ F $ 在对称轴的左侧可得 $ x_0=\dfrac{1-\sqrt{37}}{2} $．
所以 $F\left(\dfrac{1-\sqrt{37}}{2},\dfrac{3\sqrt{37}-15}{2}\right)$．
所以 $S_{\triangle FBC} =\dfrac92$．
过点 $F$ 作 $FQ\perp x$ 轴交 $ x $ 轴于点 $ P $，交 $BC$ 延长线于 $Q$，
则$\begin{split}S_{\triangle FBC}&=S_{\triangle PQB}-S_{\triangle PFB}-S_{\triangle QFC}\\ &=\dfrac12BP\cdot PQ-\dfrac12BP\cdot PF-\dfrac12FQ\cdot OP\\ &=\dfrac12BP\cdot \left(PQ-PF\right)-\dfrac12FQ\cdot OP\\ &=\dfrac12BP\cdot FQ-\dfrac12FQ\cdot OP\\ &=\dfrac12FQ\cdot\left(BP -OP\right)\\ &=\dfrac12FQ\cdot OB\\ &=\dfrac12 FQ.\end{split}$
所以 $\dfrac12 FQ=\dfrac92$，
所以 $FQ=9$．
由 $ B $、$ C $ 两点坐标可得直线 $BC$ 的解析式为 $y=-3x+3$．
设 $F\left(x_0,-x_0^2-2x_0+3\right)$，
所以 $-3x_0+3+x_0^2+2x_0-3=9$，
所以 $x_0^2-x_0-9=0$，
所以 $x_0=\dfrac{1\pm\sqrt{37}}{2}$，
由点 $ F $ 在对称轴的左侧可得 $ x_0=\dfrac{1-\sqrt{37}}{2} $．
所以 $F\left(\dfrac{1-\sqrt{37}}{2},\dfrac{3\sqrt{37}-15}{2}\right)$．
答案
解析
备注
