题目 已知首项为 $x_{1}$ 的数列 $\{x_{n}\}$ 满足 $x_{n+1}=\dfrac{ax_{n}}{x_{n}+1}$（$a$ 为常数）． 问题1 若对于任意的 $x_{1}\ne -1$，有 $x_{n+2}=x_{n}$ 对于任意的 $n\in\mathbb N^{*}$ 都成立，求 $a$ 的值； 答案1 $-1$ 解析1 因为$$x_{n+2}=\dfrac{ax_{n+1}}{x_{n+1}+1}=\dfrac{a\cdot \dfrac{ax_{n}}{x_{n}+1}}{\dfrac{ax_{n}}{x_{n}+1}+1}=\dfrac{a^{2}x_{n}}{(a+1)x_{n}+1},$$所以其对应的不动点方程为$$x=\dfrac{a^{2}x}{(a+1)x+1},$$即\[(a+1)x^{2}+(1-a^{2})x=0.\]由题意，任意不为 $-1$ 的实数均为该不动点方程的根，于是 $a=-1$．<br/>经检验，当 $a=-1$ 时符合题意． 备注1 问题2 当 $a=1$ 时，若 $x_{1}>0$，数列 $\{x_{n}\}$ 是递增数列还是递减数列？请说明理由； 答案2 递减数列 解析2 当 $a=1$ 时，$$x_{n+1}=\dfrac{x_{n}}{x_{n}+1},$$所以对任意 $n\in\mathbb N^{*}$，均有 $x_{n}>0$，此时$$x_{n+1}-x_{n}=-\dfrac{x_{n}^{2}}{x_{n}+1}<0,$$所以数列 $\{x_{n}\}$ 为递减数列． 备注2 问题3 当 $a$ 确定后，数列 $\{x_{n}\}$ 由其首项 $x_{1}$ 确定，当 $a=2$ 时，通过对数列 $\{x_{n}\}$ 的探究，写出“$\{x_{n}\}$ 是有穷数列”的一个真命题（不必证明）． 答案3 数列 $\{y_{n}\}$：$y_{1}=-1$，$y_{n+1}=\dfrac{y_{n}}{2-y_{n}}$．当 $x_{1}$ 取 $\{y_{n}\}$ 中的任意一项时，$\{x_{n}\}$ 是有穷数列 解析3 $a=2$ 时，$$x_{n+1}=\dfrac{2x_{n}}{x_{n}+1},$$令 $f(x)=\dfrac{2x}{x+1}$，则 $x_{n+1}=f(x_{n})$．<br/>考虑 $f(x)$ 的反函数$$f^{-1}(x)=\dfrac{x}{2-x},$$则递推构造数列 $\{y_{n}\}$：$y_{1}=-1$，$y_{n+1}=\dfrac{y_{n}}{2-y_{n}}$．<br/>当 $x_{1}$ 取 $\{y_{n}\}$ 中的任意一项时，$\{x_{n}\}$ 是有穷数列． 备注3