求证：$\displaystyle\prod\limits_{k=1}^n {\left( {{{\rm{e}}^k}+{{\rm{e}}^{-k}}} \right)}>{\left( {{{\rm{e}}^{n+1}}+2} \right)^{\frac{n}{2}}}$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
原不等式即$$\prod\limits_{k=1}^n {\left( {{{\rm{e}}^k}+\dfrac{1}{{{{\rm{e}}^k}}}} \right)} \left( {\dfrac{{{{\rm{e}}^{n+1}}}}{{{{\rm{e}}^k}}}+\dfrac{{{{\rm{e}}^k}}}{{{{\rm{e}}^{n+1}}}}} \right)>{\left( {{{\rm{e}}^{n+1}}+2} \right)^n},$$也即$$ \prod\limits_{k=1}^n {\left( {{{\rm{e}}^{n+1}}+\dfrac{{{{\rm{e}}^{2k}}}}{{{{\rm{e}}^{n+1}}}}+\dfrac{{{{\rm{e}}^{n+1}}}}{{{{\rm{e}}^{2k}}}}+\dfrac{1}{{{{\rm{e}}^{n+1}}}}} \right)}>{\left( {{{\rm{e}}^{n+1}}+2} \right)^n}$$而$${{\rm{e}}^{n+1}}+\dfrac{{{{\rm{e}}^{2k}}}}{{{{\rm{e}}^{n+1}}}}+\dfrac{{{{\rm{e}}^{n+1}}}}{{{{\rm{e}}^{2k}}}}+\dfrac{1}{{{{\rm{e}}^{n+1}}}}>{{\rm{e}}^{n+1}}+2,$$于是原不等式得证．
答案
解析
备注
