设 $p,q\in\mathbb Z^+$，且 $q\leqslant p^2$．试证对 $n\in\mathbb Z^+$，存在 $N\in\mathbb Z^+$，使$$(p-\sqrt{p^2-q})^n=N-\sqrt{N^2-q^n},$$且$$(p+\sqrt{p^2-q})^n=N+\sqrt{N^2-q^n}.$$
【难度】
【出处】
2012年全国高中数学联赛浙江省预赛
【标注】
【答案】
略
【解析】
设$$\begin{split}&x_1=(p-\sqrt{p^2-q})^n,\\&x_2=(p+\sqrt{p^2-q})^n,\end{split}$$我们有 $x_1x_2=q^n$．
令$$N=\dfrac12(x_1+x_2)=\sum\limits_{j=0}^{[\frac{n}{2}]}{(-1)^j\mathrm{C}_n^{2j}p^{n-2j}(p^2-q)^j},$$显然，$N\in\mathbb Z^+$，且 $x_1,x_2$ 满足二次方程$$x^2-2Nx+q^n=0.$$．
令$$N=\dfrac12(x_1+x_2)=\sum\limits_{j=0}^{[\frac{n}{2}]}{(-1)^j\mathrm{C}_n^{2j}p^{n-2j}(p^2-q)^j},$$显然，$N\in\mathbb Z^+$，且 $x_1,x_2$ 满足二次方程$$x^2-2Nx+q^n=0.$$．
答案
解析
备注
