设 $i_1,i_2,\cdots,i_{10}$ 为 $1,2,\cdots,10$ 的一个排列，记$$S=|i_1-i_2|+|i_3-i_4|+\cdots+|i_9-i_{10}|,$$求 $S$ 可以取到的所有值．
【难度】
【出处】
2012年全国高中数学联赛浙江省预赛（二试）
【标注】
【答案】
$ 5,7,9,11,13,15,17,19,21,23,25$
【解析】
因为\[\begin{split}&S\geqslant 1+1+1+1+1=5,\\&S\leqslant6+7+8+9+10-(1+2+3+4+5)=25,\end{split}\]且$$\displaystyle S\equiv\sum\limits_{k=1}^{10}{k}\pmod{2}=1\pmod{2},$$下面证明 $S$ 可以取到从 $5$ 到 $25$ 的所有奇数．
记$$f(i_2,i_4,i_6,i_8,i_{10};i_1,i_3,i_5,i_7,i_9)$$为排列 $i_2,i_4,i_6,i_8,i_{10};i_1,i_3,i_5,i_7,i_9$ 对应的 $S$．
因为\[\begin{split}&f(1,2,3,4,6;5,7,8,9,10)=23,\\&f(1,2,3,4,7;5,6,8,9,10)=21,\\&f(1,2,3,4,8;5,6,7,9,10)=19,\\&f(1,2,3,4,9;5,6,7,8,10)=17,\\&f(1,2,3,5,9;4,6,7,8,10)=15,\\&f(1,2,3,6,9;4,5,7,8,10)=13,\\&f(1,2,3,7,9;4,5,6,8,10)=11,\\&f(1,2,4,7,9;3,5,6,8,10)=9,\\&f(1,2,5,7,9;3,4,6,8,10)=7,\end{split}\]所以 $S$ 取到的值为$$5,7,9,11,13,15,17,19,21,23,25.$$
记$$f(i_2,i_4,i_6,i_8,i_{10};i_1,i_3,i_5,i_7,i_9)$$为排列 $i_2,i_4,i_6,i_8,i_{10};i_1,i_3,i_5,i_7,i_9$ 对应的 $S$．
因为\[\begin{split}&f(1,2,3,4,6;5,7,8,9,10)=23,\\&f(1,2,3,4,7;5,6,8,9,10)=21,\\&f(1,2,3,4,8;5,6,7,9,10)=19,\\&f(1,2,3,4,9;5,6,7,8,10)=17,\\&f(1,2,3,5,9;4,6,7,8,10)=15,\\&f(1,2,3,6,9;4,5,7,8,10)=13,\\&f(1,2,3,7,9;4,5,6,8,10)=11,\\&f(1,2,4,7,9;3,5,6,8,10)=9,\\&f(1,2,5,7,9;3,4,6,8,10)=7,\end{split}\]所以 $S$ 取到的值为$$5,7,9,11,13,15,17,19,21,23,25.$$
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