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序号 ID 年级 类型 来源 摘要 创建时间
19538 5a5c4c8c1ccf880007caa5d1 高中 解答题 自招竞赛 求使方程$$x_1 +2x_2+3x_3+\cdots+nx_n=2017\qquad \qquad \text{ ① }$$有正整数解 $x_1$，$x_2$，$x_3$，$\cdots$，$x_n$ 的最大正整数 $n$； 2022-04-17 19:29:51
19537 5c9c34f4210b280b2397ea64 高中 解答题 自招竞赛 求从 $\left\{ 0\text{,}1,2,3,4,5\text{,}6 \right\}$ 到整数的映射 $f$ 的个数，满足 $f\left( 0 \right)=0\text{,}f\left( 6 \right)\text{=}12\text{,}\left| x-y \right|\leqslant \left| f\left( x \right)-f\left( y \right) \right|\leqslant 3\left| x-y \right|$ 对任意 $x\text{,}y\in \left\{ 0\text{,}1,2,3,4,5\text{,}6 \right\}$ 成立 2022-04-17 19:28:51
19536 5d255282210b280220ed5be2 高中 解答题 自招竞赛 （1）求所有正整数 $n$，使得对任意奇数 $a$，有 $4$ 整除 $a^n-1$．
（2）求所有正整数 $n$，使得对任意奇数 $a$，有 $2^{2017}$ 整除 $a^n-1$．		 2022-04-17 19:28:51
19535 5d2be5d8210b280220ed5fe1 高中 解答题 自招竞赛 已知质数 $ p$ 和正整数 $n$ 满足：$\prod_{k=1}^{n}\left(k^{2}+1\right)$ 能被 $p^2$ 整除，求证：$p < 2n$． 2022-04-17 19:27:51
19534 5d2be8dd210b28021fc785dc 高中 解答题 自招竞赛 设 $n$ 是一个正整数，使得存在正整数 $x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}$ 满足 $x_{1} x_{2} \cdots x_{n}\left(x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n}\right)=100 n$，求 $n $ 的最大可能值． 2022-04-17 19:27:51
19533 5d2c2010210b280220ed6013 高中 解答题 自招竞赛 给定整数 $n,k,n\geqslant k\geqslant 2$．甲、乙两人在一张每个小方格都是白色的 $n\times n$ 的方格纸上玩游戏：两人轮流选择一个白色小方格将其染为黑色，甲先进行．如果某个人染色后．每个 $k\times k$ 的正方形中都至少有一个黑色小方格．则游戏结束此人获胜．问谁有必胜策略？ 2022-04-17 19:26:51
19532 5d2c2a3e210b28021fc78600 高中 解答题 自招竞赛 设 $9$ 个正整数 $a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{9}$（可以相同），满足：对任意 $1 \leqslant i<j<k \leqslant 9$，都存在与 $i、j、k$ 不同的 $l$，$1\leqslant l\leqslant 9 $，使得 $ a_{i}+a_{j}+a_{k}+a_{l}=100 $．求满足上述要求的有序九元数组 $ \left(a_{1},a_{2},\cdots,a_{9}\right)$ 的个数． 2022-04-17 19:25:51
19531 5d2c2ff1210b28021fc78610 高中 解答题 自招竞赛 如图在锐角 $\triangle ABC$ 中，点 $DE$ 分别在边 $AB,AC$ 上，线段 $BE,DC$ 交于点 $H$，点 $M、N$ 分别为线段 $BD、CE$ 的中点．
证明：点 $H$ 为 $\triangle AMN$ 的垂心的充要条件是 $B,C,E,D$ 四点共圆且 $BE$ 上 $CD$．		 2022-04-17 19:25:51
19530 5d2c3595210b280220ed603d 高中 解答题 自招竞赛 设正整数 $n=2^\alpha\cdot q$，其中 $\alpha$ 为非负整数，$q$ 为奇数．证明：对任意正整数 $m$，方程 $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots+x_{n}^{2}=m$ 的整数解 $\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)$ 的个数能被 $2^{\alpha+1}$ 整除． 2022-04-17 19:24:51
19529 5d2c5cbb210b28021fc7865a 高中 解答题 自招竞赛 已知正实数 $a,b,c$ 满足 $\min\{ab,bc,ca\}\geqslant 1$．证明：$$\sqrt[3]{\left(a^{2}+1\right)\left(b^{2}+1\right)\left(c^{2}+1\right)} \leqslant\left(\frac{a+b+c}{3}\right)^{2}+1$$ 2022-04-17 19:24:51
19528 5d2c5d41210b280220ed6098 高中 解答题 自招竞赛 求最小的实数 $C$，满足对于任意正实数 $a_1 , a_2 ,\ldots ,a_5$（允许相同），总可选择不同的下标 $i,j,k,l$，使得$$\left|\frac{a_{i}}{a_{j}}-\frac{a_{k}}{a_{l}}\right| \leqslant C$$ 2022-04-17 19:24:51
19527 5d2c5d7b210b28021fc78660 高中 解答题 自招竞赛 求所有正整数 $n$（$n\geqslant 3$），满足：对于所有实数 $a_1 ,a_2 ,\ldots ,a_n$ 及 $b_1 ,b_2 ,\ldots ,b_n$，若对每个整数 $k$（$1\leqslant k\leqslant n$），均有 $|a_k |+|b_k |=1$，则存在 $x_1 , x_2 ,\ldots , x_n \in \{-1,1\}$，使得$$\left|\sum_{k=1}^{n} x_{k} \boldsymbol{a}_{k}\right|+\left|\sum_{k=1}^{n} x_{k} b_{k}\right| \leqslant 1$$ 2022-04-17 19:23:51
19526 5d2c5e03210b28021fc78665 高中 解答题 自招竞赛 求所有函数 $f:\mathbb{R}_{+}\rightarrow\mathbb{R}_{+}$，使得对于所有正实数 $x,y$，均有\begin{equation}
x f\left(x^{2}\right) f(f(y))+f(y f(x))=f(x y)\left(f\left(f\left(x^{2}\right)\right)+f\left(f\left(y^{2}\right)\right)\right)
\end{equation}		 2022-04-17 19:23:51
19525 5d2c5f30210b28021fc7866a 高中 解答题 自招竞赛 对于每个正整数 $n$，均存在分数 $\frac{a}{b}$（$a,b$ 为整数），满足$$0<b \leqslant \sqrt{n}+1, \text{ 且} \sqrt{n} \leqslant \frac{a}{b} \leqslant \sqrt{n+1}$$ 2022-04-17 19:22:51
19524 5d2d2f2b210b280220ed60b2 高中 解答题 自招竞赛 求最大的实数 $a$，使得对于所有正整数 $n$ 和所有实数 $x_0 ,x_1 ,\ldots ,x_n$（$0=x_0 < x_1 < \ldots < x_n$），均有\begin{equation}
\sum_{i=1}^{n} \frac{1}{x_{i}-x_{i-1}} \geqslant a \sum_{i=1}^{n} \frac{i+1}{x_{i}}
\end{equation}		 2022-04-17 19:22:51
19523 5d2d31f1210b280220ed60c1 高中 解答题 自招竞赛 一名IMO代表队的领队选择正整数 $n,k$（$n>k$），并告知了副领队和参赛者．然后，领队秘密地告诉副领队一个有 $n$ 个数码的二进制表示的数字串，于是，副领队写下与领队写的 $n$ 个数码的数字串恰有 $k$ 个数位上的数不同的所有 $n$ 个数码的二进制表示的数字串（若 $n=3,k=1$，且领队选了 $101$ 告诉了副领队，则副领队应该写出 $001,111,100$）．参赛者允许看副领队写的数字串，并去猜领队的数字串．求猜的次数的最小值（依赖于 $n,k$），保证得到正确的答案． 2022-04-17 19:22:51
19522 5d2d3541210b280220ed60d8 高中 解答题 高中习题 设 $n$ 为大于 $2$ 的正整数，求证：$n^{n+1}>(n+1)^n$． 2022-04-17 19:21:51
19521 5d2d34c7210b28021fc78690 高中 解答题 自招竞赛 求所有正整数 $n$，使得 $n$ 的所有正因数可以放入一个矩形的方格内，且满足下述约束条件：
（1）每个方格内均有一个不同的因数；
（2）所有行方格内的数之和均相等；
（3）所有列方格内的数之和均相等．		 2022-04-17 19:21:51
19520 5d2d358e210b280220ed60e0 高中 解答题 高中习题 已知 $a,b$ 是实数，且 $\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}=1$．求证：对一切正整数 $n$，都有 $(a+b)^n-a^n-b^n\ge2^{2n}-2^{n+1}$． 2022-04-17 19:20:51
19519 5d2d35d7210b280220ed60e5 高中 解答题 高中习题 若 $\{a_n\}$ 是各项为正的数列，若 $a_{n+1}\leqslant a_n-a_n^2$．证明：对一切 $n\ge2$，都有 $a_n\leqslant\dfrac{1}{n+2}$． 2022-04-17 19:20:51
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