（1）求所有正整数 $n$，使得对任意奇数 $a$，有 $4$ 整除 $a^n-1$．
（2）求所有正整数 $n$，使得对任意奇数 $a$，有 $2^{2017}$ 整除 $a^n-1$．
（2）求所有正整数 $n$，使得对任意奇数 $a$，有 $2^{2017}$ 整除 $a^n-1$．
【难度】
【出处】
2017第16届CGMO试题
【标注】
【答案】
略
【解析】
（1）当 $n$ 是偶数时，$a^n\equiv -1\pmod {4}$；当 $n$ 是奇数时，$a^n-1\equiv (-1)^n-1\pmod{4}$．因此所求的 $n$ 为所有正偶数．
（2）首先证明当 $2^{2015}|n$ 时，$n$ 满足条件．设 $n=2^{2015} n_{0}, b=a^{n_0}$，则 $a^{n}-1=b^{2^{2015}}-1=\left(b^{2}-1\right)\left(b^{2}+1\right)\left(b^{4}+1\right) \cdots\left(b^{2013}+1\right)\left(b^{2014}+1\right)$ 其中第一个乘数为 $8$ 的倍数，其余 $2014$ 个乘数均为偶数，故 $2^{2017} | a^{n}-1$，$n$ 满足条件．
下面证明当 $2^{2015} \nmid n$ 时，$n$ 不满足条件．设 $n=2^{t}(2 s+1)(t, s \in Z \geqslant 0, t \leqslant 2014)$
若 $t=0$，则取 $a=3$，$a^{n}-1 \equiv 3-1 \equiv 2(\bmod 4)$，$n$ 不满足条件．若 $1 \leqslant t \leqslant 2014$．取 $a
=3$ 则 $a^{n}-1=3^{n}-1=\left(3^{2^{t}}-1\right)\left(3^{2^{t} \cdot 2 s}+3^{2^{t} \cdot(2-1)}+\cdots+3^{2^{t}}+1\right)=\left(3^{2^{t^{-1}}}+1\right)\left(3^{2^{t-2}}+1\right) \cdots\left(3^{2}+1\right)\left(3^{2}-1\right) \left(3^{2^{t} \cdot 2 s}+3^{2^{t} \cdot(2 s-1)}+\cdots+3^{2^{t}}+1\right) $
前 $t-1$ 个乘数各有一个 $2$ 的因子，$3^2-1$ 有 $3$ 个 2 的因子，最后一个乘数为奇数．
故 $a^n-1$ 仅有 $t+2\leqslant 2016$ 个 $2$ 的因子，$n$ 不满足条件．
（2）首先证明当 $2^{2015}|n$ 时，$n$ 满足条件．设 $n=2^{2015} n_{0}, b=a^{n_0}$，则 $a^{n}-1=b^{2^{2015}}-1=\left(b^{2}-1\right)\left(b^{2}+1\right)\left(b^{4}+1\right) \cdots\left(b^{2013}+1\right)\left(b^{2014}+1\right)$ 其中第一个乘数为 $8$ 的倍数，其余 $2014$ 个乘数均为偶数，故 $2^{2017} | a^{n}-1$，$n$ 满足条件．
下面证明当 $2^{2015} \nmid n$ 时，$n$ 不满足条件．设 $n=2^{t}(2 s+1)(t, s \in Z \geqslant 0, t \leqslant 2014)$
若 $t=0$，则取 $a=3$，$a^{n}-1 \equiv 3-1 \equiv 2(\bmod 4)$，$n$ 不满足条件．若 $1 \leqslant t \leqslant 2014$．取 $a
=3$ 则 $a^{n}-1=3^{n}-1=\left(3^{2^{t}}-1\right)\left(3^{2^{t} \cdot 2 s}+3^{2^{t} \cdot(2-1)}+\cdots+3^{2^{t}}+1\right)=\left(3^{2^{t^{-1}}}+1\right)\left(3^{2^{t-2}}+1\right) \cdots\left(3^{2}+1\right)\left(3^{2}-1\right) \left(3^{2^{t} \cdot 2 s}+3^{2^{t} \cdot(2 s-1)}+\cdots+3^{2^{t}}+1\right) $
前 $t-1$ 个乘数各有一个 $2$ 的因子，$3^2-1$ 有 $3$ 个 2 的因子，最后一个乘数为奇数．
故 $a^n-1$ 仅有 $t+2\leqslant 2016$ 个 $2$ 的因子，$n$ 不满足条件．
答案
解析
备注
