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序号 ID 年级 类型 来源 摘要 创建时间
19498 5d2d8338210b280220ed61fd 高中 解答题 自招竞赛 已知 $\triangle ABC$ 的外接圆为 $\Gamma$，内心为 $I$，$BC$ 的中点为 $M$，点 $I$ 在边 $BC$ 上的投影为 $D$，过点 $I$ 且与 $AI$ 垂直的直线与边 $AB,AC$ 分别交于点 $F,E$．若 $\triangle AEF$ 的外接圆与圆 $\Gamma$ 的第二个交点为 $X$，证明：直线 $XD$ 与 $AM$ 的交点在圆 $\Gamma$ 上． 2022-04-17 19:07:51
19497 5d2d93a3210b28021fc7875e 高中 解答题 自招竞赛 已知平面直角坐标系上的两个点 $B(-1,0),C(1,0)$．对平面上的一个非空有界子集 $S$，若：
（1）存在子集 $S$ 中的一个点 $T$，使得对于 $S$ 中的每个点 $Q$，线段 $TQ$ 均在 $S$ 中；
（2）对于任意 $\triangle P_1 P_2 P_3$，存在 $S$ 中唯一的一个点 $A$ 及 $\{1,2,3\}$ 的一个排列 $\sigma$，使得$$\triangle ABC\sim \triangle P_{\sigma(1)} P_{\sigma(2)} P_{\sigma(3)}$$则称子集 $S$ 为"好的"．
证明：存在集合 $\{(x,y)~|~x\geqslant 0,y\geqslant 0\}$ 的两个不同好子集 $S,S'$，使得若 $A\in S,A'\in S'$ 分别为满足（2）的唯一的点，则 $BA\cdot BA'$ 为不依赖于 $\triangle P_1 P_2 P_3$ 的常数．		 2022-04-17 19:07:51
19496 5d2d9a62210b280220ed6205 高中 解答题 自招竞赛 在 $\triangle ABC$ 中，$AB=AC\neq BC$，内心为 $I$，直线 $BI$ 与 $AC$ 交于点 $D$，过 $D$ 作 $AC$ 的垂线，与 $AI$ 交于点 $E$．证明：点 $I$ 关于 $AC$ 的对称点在 $\triangle BDE$ 的外接圆上． 2022-04-17 19:06:51
19495 5d2d7507210b280220ed6199 高中 解答题 自招竞赛 给定正整数 $n$，实数 $x_1 , x_2 , \ldots , x_n$ 满足 $\displaystyle \sum\limits_{k=1}^{n}x_k$ 为整数．
记 $d_k =\min\limits_{m\in\mathbb{Z}}|x_k -m|$，$1\leqslant k\leqslant n$．求 $\displaystyle \sum\limits_{k=1}^{n}d_k$ 的最大值．		 2022-04-17 19:06:51
19494 5d2d7950210b280220ed61d5 高中 解答题 自招竞赛 如图圆 $\omega_1$ 与圆 $\omega_2$ 内切于点 $T$．$M,N$ 是圆 $\omega_1$ 上不同于 $T$ 的不同两点．圆 $\omega_2$ 的两条弦 $AB,CD$ 分别过 $M,N$．
证明：若线段 $AC,BD,MN$ 交于同一点 $K$．求证：$TK$ 平分 $\angle MTN$．		 2022-04-17 19:05:51
19493 5d2e8326210b280220ed6215 高中 解答题 自招竞赛 设整数 $n\geqslant 2$，正实数 $x_1 , x_2 , \ldots , x_n$ 满足 $\displaystyle \sum\limits_{i=1}^n x_i =1$．
证明：$\displaystyle
\left(\sum\limits_{i=1}^{n} \frac{1}{1-x_{i}}\right)\left(\sum_{1 \leqslant i<j \leqslant n} x_{i} x_{j}\right) \leqslant \dfrac{n}{2}
$		 2022-04-17 19:05:51
19492 5d2e8782210b28021fc78772 高中 解答题 自招竞赛 对平面上有 $100$ 条直线．用 $T$ 表示由这些直线中的某三条直线围成的直角三角形的集合．求 $|T|$ 的最大值． 2022-04-17 19:04:51
19491 5d2e88ee210b28021fc78784 高中 解答题 自招竞赛 设凸四边形 $ABCD$ 的面积为 $S$，$AB=a,BC=b,CD=c,DA=d$．
证明：对 $a,b,c,d$ 的任意一个排列 $x,y,z,w$，有 $S\leqslant\dfrac{1}{2}(xy+zw)$		 2022-04-17 19:04:51
19490 5d2e8b3a210b280220ed6255 高中 解答题 自招竞赛 对数列 $a_1 , a_2 , \ldots , a_m$，定义集合 $A=\{a_i ~|~ 1\leqslant i\leqslant m\}$，$B=\{a_i +2a_j ~|~1\leqslant i,j\leqslant m,~i\neq j\}$．
设 $n$ 为给定的大于 $2$ 的整数，对所有由正整数组成的严格递增的等差数列 $a_1 , a_2 , \ldots , a_n$，求集合 $A\Delta B$ 的元素个数的最小值．（其中 $A\Delta B=(A \cup B)\backslash(A\cap B)$．		 2022-04-17 19:03:51
19489 5d2e951d210b280220ed627f 高中 解答题 自招竞赛 设 $k$ 为正整数，$n=(2^k )!$．证明：$\sigma (n)$ 至少有一个大于 $2^k$ 的质因子．其中 $\sigma (n)$ 为 $n$ 的所有正约数之和． 2022-04-17 19:02:51
19488 5d2eab74210b280220ed629d 高中 解答题 自招竞赛 如图$AB$ 是半圆 $O$ 的直径，$C,D$ 是 $AB$ 上两点，$P,Q$ 分别是 $\triangle OAC$ 与 $\triangle OBD$ 的外心．证明：$CP\cdot CQ=DP\cdot DQ$． 2022-04-17 19:02:51
19487 5d2eb35e210b28021fc787e7 高中 解答题 自招竞赛 已知 $\triangle ABC$ 为非等腰锐角三角形，点 $A$ 在其欧拉线（过外心与垂心的直线）上的投影为 $D$．以 $S$ 为圆心且过点 $A,D$ 的圆 $\Gamma$ 与 $AB,AC$ 分别交于点 $X,Y$．若点 $A$ 在 $BC$ 上的投影为 $P$，$BC$ 的中点为 $M$，证明：$\triangle XSY$ 的外心到点 $P$ 和 $M$ 的距离相等． 2022-04-17 19:01:51
19486 5d2ea98e210b28021fc787bd 高中 解答题 自招竞赛 设 $x,y$ 是正实数，求 $x+y+\dfrac{|x-1|}{y}+\dfrac{|y-1|}{x}$ 的最小值． 2022-04-17 19:01:51
19485 5d2eab1b210b280220ed6296 高中 解答题 自招竞赛 如图$AB$ 是半圆 $O$ 的直径，$C,D$ 是 $AB$ 上两点，$P,Q$ 分别是 $\triangle OAC$ 与 $\triangle OBD$ 的外心．证明：$CP\cdot CQ=DP\cdot DQ$． 2022-04-17 19:00:51
19484 5d2eb013210b28021fc787d7 高中 解答题 自招竞赛 设 $A_1 , A_2 , A_3 , \ldots$ 是一列集合，满足：对任意正整数 $j$，只有有限多个正整数 $i$，使得 $A_i \subset A_j$．证明：存在一列正整数 $a_1 , a_2 , a_3 , \ldots$，使得对任意正整数 $i,j$，$a_i |a_j$，当且仅当 $A_i \subset A_j$． 2022-04-17 19:59:50
19483 5d2eb0d6210b280220ed62b0 高中 解答题 自招竞赛 给定正整数 $n$，设 $a_1 , a_2 , \ldots , a_n$ 是非负整数序列，若其中连续若干项（可以只有一项）的算术平均值不小于 $1$，则称这些项组成一条"龙"，其中第一项称为"龙头"，最后一项称为"龙尾"．
已知 $a_1 , a_2 , \ldots , a_n$ 中每一项都是"龙头"或者"龙尾"，求 $\displaystyle \sum\limits_{i=1}^{n}a_i$ 的最小值．		 2022-04-17 19:59:50
19482 5d2eb66e210b280220ed62d6 高中 解答题 自招竞赛 给定正整数 $m$，证明：存在正整数 $n_0$，使得对所有正整数 $n>n_0$，$\sqrt{n^2 +817n+m}$ 的十进制表示的小数点后第一位数字都相同． 2022-04-17 19:58:50
19481 5d2ebd37210b280220ed62ed 高中 解答题 自招竞赛 给定整数 $n\geqslant 2$，设实数 $x_1 , x_2 , \ldots , x_n$ 满足：
（1）$\displaystyle \sum\limits_{i=1}^{n}x_i =0$；
（2）$|x_i | \leqslant 1$，$i=1,2,\ldots , n$．
求 $\min\limits_{1\leqslant i\leqslant n-1}|x_i - x_{i+1}|$ 的最大值．		 2022-04-17 19:58:50
19480 5d2ecaa4210b28021fc78819 高中 解答题 自招竞赛 平面上，点 $O$ 是正三角形 $ABC$ 的中心，点 $P,Q$ 满足 $\overrightarrow{OQ}=2\overrightarrow{PO}$．
证明：$|P A|+|P B|+|P C| \leqslant|Q A|+|Q B|+|Q C|$		 2022-04-17 19:57:50
19479 5d2ecc7b210b28021fc7882d 高中 解答题 自招竞赛 给定实数 $q$，满足 $1<q<2$，定义数列 $\{x_n \}$ 如下：
设正整数 $n$ 的二进制表示为 $
n=a_{0}+a_{1} \cdot 2+a_{2} \cdot 2^{2}+\cdots+a_{k} \cdot 2^{k}, a_{i} \in\{0,1\}, i=0,1,\ldots,k
$
令 $x_n =a_0 + a_1 \cdot q+ a_2 \cdot q^2 + \ldots + a_k \cdot q^k$．
证明：对任意正整数 $n$，存在正整数 $m$ 使得 $x_n < x_m \leqslant x_{n+1}$．		 2022-04-17 19:56:50
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