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序号 ID 年级 类型 来源 摘要 创建时间
19558 5d259ef3210b28021fc78356 高中 解答题 自招竞赛 设 $n$ 是正整数，$X$ 是有限集合，映射 $f : X \rightarrow X$ 满足 $f^{(n)}(x)=x$，对任意 $x \in X$，其中 $f^{1}(x)=f(x), f^{(i)}(x)=f\left(f^{(i-1)}(x)\right),i\geqslant 2$．记 $m_j$ 为集合 $\left\{x \in X | f^{{j}}(x)=x\right\}$ 的元素个数．对于任意整数 $k$，证明：
（1）$\displaystyle \dfrac{1}{n} \sum\limits_{j=1}^{n} m_{j} \sin \dfrac{2 j k \pi}{n}=0$；
（2）$\displaystyle \dfrac{1}{n} \sum\limits_{j=1}^{n} m_{j} \cos \dfrac{2 j k \pi}{n}$ 是非负整数．		 2022-04-17 19:38:51
19557 5d25bf84210b280220ed5c90 高中 解答题 自招竞赛 如图圆 $\omega_1$ 是四边形 $ABCD$ 的外接圆，$AC$ 交 $BD$ 于 $E$，$AD$ 交 $BC$ 于 $F$．圆 $\omega_2$ 分别与线段 $ EB、EC$ 相切于点 $M、N$，且与圆 $\omega_1$ 相交于 $Q、R$ 两点，直线 $BC、AD$ 分别交直线 $MN $ 于点 $S、T$．
求证：$Q,R,S,T$ 四点共圆．		 2022-04-17 19:37:51
19556 5d25ca24210b280220ed5cec 高中 解答题 高中习题 如图，在平面直角坐标系 $xOy$ 中，椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}(-c,0)$，$F_{2}(c,0)$ 。设 $A$、$B$ 为椭圆上位于 $x$ 轴上方的两点，且直线 $A F_{1} / / B F_{2}$，$A F_{2}$ 与 $B F_{1}$ 交于点 $P$ 。求点 $P$ 的轨迹。 2022-04-17 19:37:51
19555 5d25e132210b280220ed5d2c 高中 解答题 高中习题 如图，已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 上 $A$、$B$ 两点的切线垂直交于点 $P$，$F_{1}$、$F_{2}$ 是该椭圆的两个焦点。
$(1)$ 当点 $A$、$B$ 在椭圆上运动时，试求动点 $P$ 的轨迹 $E$ 的方程。
$(2)$ 当 $P$ 为曲线 $E$ 上任意一点，证明：$\overrightarrow{P F}_{1} \cdot \overrightarrow{P F}_{2}$ 为定值。		 2022-04-17 19:36:51
19554 5d26ca68210b28021fc7847b 高中 解答题 高中习题 如图，设 $\odot O$ 的内接锐角 $\triangle ABC(AB > AC)$ 的内心为 $I$，与边 $AB$、$AC$ 均相切的 $\odot M$ 与 $\odot O$ 切于点 $D$，$\angle A$ 的外角平分线与 $\odot O$ 交于点 $T$ 。证明：$T$、$I$、$D$ 三点共线。 2022-04-17 19:36:51
19553 5d26d165210b280220ed5e5f 高中 解答题 高中习题 如图，$M$ 为 $\triangle ABC$ 边 $BC$ 上的中点，过点 $M$ 作 $\odot O$ 与边 $AB$、$AC$ 切于点 $D$、$E$，$\odot O$ 与 $BC$ 交于异于 $M$ 的一点 $N$，$AM$ 与 $\odot O$ 交于点 $Q$，联结 $BE$、$CD$ 交于点 $P$，延长 $NP$，与 $\odot O$ 交于点 $R$ 。证明：$Q R / / B C$ 2022-04-17 19:36:51
19552 5d26cbfb210b280220ed5e50 高中 解答题 高中习题 如图，在 $\triangle ABC$ 中，$P$、$Q$ 分别为边 $AB$、$AC$ 上的点，且 $AP=AQ$；$R$、$S$ 均在边 $BC$ 上，且 $\angle RPB = \angle PSR, \angle SPQ = \angle SQC$，线段 $PS$ 与 $RQ$ 交于点 $D$；过 $D$ 点分别作 $PR$、$QS$ 的平行线，分别与 $AB$、$AC$ 交于点 $M$、$N$，与 $BC$ 交于点 $F$、$E$ 。证明：$M$、$N$、$F$、$E$ 四点共圆。 2022-04-17 19:35:51
19551 5d26d6d9210b28021fc7848a 高中 解答题 高中习题 如图，在锐角 $\triangle ABC$ 中，已知 $A B \neq A C$，$H$ 为垂心，$M$ 为 $BC$ 的中点，点 $D$、$E$ 分别在边 $AB$、$AC$ 上，且满足 $AD=AE$，$D$、$H$、$E$ 三点共线，$\triangle ABC$、$\triangle ADE$ 的外接圆交于点 $A$、$F$ 。证明：$H M \perp A F$． 2022-04-17 19:35:51
19550 5d21b4d0210b28021fc7814a 高中 解答题 高中习题 已知 $n$ 个正整数组成的集合 $A=\{a_{1},a_{2},\cdots,a_{n}\}$ 满足：对集合 $A$ 的任意两个不同的子集，其各自元素的和不相等。求：
$(1)$ $\sum_\limits{i=1}^{n}{\sqrt{a_{i}}}$ 的最小值
$(2)$ $\sum_\limits{i=1}^{n}{a_{i}^{2}}$ 的最小值		 2022-04-17 19:34:51
19549 5d21c415210b28021fc78166 高中 解答题 高中习题 设 $0<a_{n}<a_{n-1}<\cdots<a_{0}=1$ 。证明：$\sum_\limits{i=1}^{n}{\frac{a_{i}^{2}}{a_{i-1}-a_{i}}>\frac{1}{2}\sum_\limits{i=1}^{n}{ia_{i}-1}}$ 2022-04-17 19:34:51
19548 5d26fd50210b280220ed5f13 高中 解答题 高中习题 证明：对任意质数 $p$ 和任意正整数 $m$，和式 $\sum_\limits{k=1}^{m}{\frac{k}{1+k(p-1)}}$ 都不是整数。 2022-04-17 19:33:51
19547 5d26ff8f210b28021fc7852b 高中 解答题 高中习题 求所有具有下述性质的整数 $k \geqslant 3$：存在整数 $m$、$n$，满足 $1<m<k,1<n<k,$ $(m,k)=(n,k)=1,m+n>k,$ $k|(m-1)(n-1)$ 。 2022-04-17 19:33:51
19546 5d25cfb8210b280220ed5cfa 高中 解答题 高中习题 如图，已知 $A$、$B$ 分别为椭圆 $\dfrac{x^{2}}{r^{2}}+y^{2}=1(r>0)$ 的左、右顶点，$P A \perp A B$，$M B \perp A B$ 。过点 $P$ 作椭圆的切线，切点为异于点 $A$ 的点 $F$，过点 $M$ 作椭圆的切线，切点为异于点 $B$ 的点 $E$ 。 $AE$ 与 $BF$ 交于点 $C$ 。证明：$P$、$C$、$M$ 三点共线。 2022-04-17 19:33:51
19545 5d282fb4210b28021fc78579 高中 解答题 高中习题 $a,b$ 为整数，$c,d$ 为连续整数，$a-b=a^2c-b^2d$，求证 $|a-b|$ 为完全平方数． 2022-04-17 19:32:51
19544 5d26ad0c210b280220ed5e18 高中 解答题 自招竞赛 设整数 $n\geqslant 3$．将标号为 $1 , 2, \cdots,n^2$ 的 $n^2$ 张卡片放入 $n$ 个盒子中，每个盒子中各有 $n$ 张允许进行如下操作：每次操作选取两个盒子，并从 这两个盒子中各取两张卡片放入对方盒中．证明：不论最初如何放置，总能经过有限次操作．使得每个盒子中卡片的标号是连续的 $n$ 个整数． 2022-04-17 19:31:51
19543 5d26af8b210b280220ed5e21 高中 解答题 自招竞赛 设 $\triangle ABC$ 三条边的长度为 $BC=a, AC= b, AB = c$，$\Gamma$ 是 $\triangle ABC$ 的外接圆．
（1）若 $\Gamma$ 的 $\overparen{BC}$（不含 $A$）上有唯一的点 $P(P\ne B, P\ne C)$ 满足 $PA=PB+PC$，求 $a、b、c$ 所应满足的充分必要条件．
（2）设 $P$ 是（1）中所述的唯一的点证明：若 $AP$ 平分线段 $BC$，则 $\angle BAC < 60^\circ$．		 2022-04-17 19:31:51
19542 5d26dce3210b28021fc784a7 高中 解答题 自招竞赛 设 $n$ 是正整数，$a_{1}, \ldots, a_{n} \in\{0,1, \cdots, n\}$．对整数 $j(1 \leqslant j \leqslant n)$．定义 $b_j$ 为集合 $\left\{i | i \in\{1, \cdots, n\}, a_{i} \geqslant j\right\}$ 的元素个数．例如：当 $n =3$ 时，若 $a_{1}=1, a_{2}=2, a_{3}=1$，则对应的 $b_{1}=3,b_{2}=1, b_{3}=0$．
（1）证明：$\displaystyle \sum\limits_{i=1}^{n}\left(i+a_{i}\right)^{2} \geqslant \sum_{i=1}^{n}\left(i+b_{i}\right)^{2}$；
（2）证明：若整数 $k \geqslant 3$，则 $\displaystyle \sum\limits_{i=1}^{n}\left(i+a_{i}\right)^{k} \geqslant \sum_{i=1}^{n}\left(i+b_{i}\right)^{k}$．		 2022-04-17 19:31:51
19541 5d282bd1210b280220ed5f7f 高中 解答题 自招竞赛 求最大正整数 $m$，使得可以在 $m$ 行 $8$ 列的方格表的每个方格中填入 $C、G、M、O$ 这 $4$ 个字母之一，并且具有如下性质：对于方格表的任意 不同两行，至多存在一列，使得这两行在此列处的字母相同 2022-04-17 19:30:51
19540 5d2832ea210b28021fc78584 高中 解答题 自招竞赛 如图在三角形 $ABC$ 中，$AB>AC$，$I$ 是其内心，$D$ 是 $I$ 在 $BC$ 边上的垂足．过 $A$ 作 $AH\bot BC$，与直线 $BI、CI$ 分别交于点 $P、Q$．设 $O$ 是 二角形 $IPQ$ 的外心，延长 $AO$ 交 $BC$ 边于点 $L$．设点 $N$ 是直线 $BC$ 与三角形 $AIL$ 的外接圆的第二个交点，证明：$\dfrac{B D}{C D}=\dfrac{B N}{C N}$． 2022-04-17 19:29:51
19539 5d283c76210b28021fc78595 高中 解答题 自招竞赛 设 $Q$ 是有理数集，$Z$ 是整数集．在坐标平面上，对正整数 $m$，定义点集：$A_{m}=\left\{(x, y) | x, y \in \mathbf{Q}, x y \neq 0, \dfrac{x y}{m} \in \mathbf{Z}\right\}$．
对线段 $MN$，定义 $f_m(MN)$ 为线段 $MN$ 上属于集合 $A_m$ 的点的个数．
求最小的实数 $\lambda$，使得对坐标平面上的任意直线 $l$，均存在与 $l$ 有关的 实数 $\beta(l)$，满足：对直线 $l$ 上任意两点 $M、N$，都有 $f_{2016}(M N) \leqslant \lambda f_{2015}(M N)+\beta(l)$．		 2022-04-17 19:29:51
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