2016IMO Short List

$f(x)=\frac{1}{x}$（$x\in\mathbb{R}_{+}$）．
在式（1）中，取 $x=y=1$，有$$f(1) f(f(1))+f(f(1))=2 f(1) f(f(1))~~\Rightarrow f(1)=1$$在式（1）中，用 $y,x$ 代替 $x,y$，并结合式（1）得\begin{equation}
x f\left(x^{2}\right) f(f(y))+f(y f(x))=y f\left(y^{2}\right) f(f(x))+f(x f(y))
\end{equation}在式（2）中，取 $y=1$，得\begin{equation}\begin{aligned}&x f\left(x^{2}\right)+f(f(x))=f(f(x))+f(x) \\ &\Rightarrow f\left(x^{2}\right)=\frac{f(x)}{x}\end{aligned}\end{equation}在式（1）中，取 $y=1$，得$$x f\left(x^{2}\right)+f(f(x))=f(x)\left(f\left(f\left(x^{2}\right)\right)+1\right)$$将式（3）代入上式得\begin{equation}\begin{aligned}&f(x)+f(f(x))=f(x)\left(f\left(f\left(x^{2}\right)\right)+1\right) \\ &\Rightarrow f\left(f\left(x^{2}\right)\right)=\frac{f(f(x))}{f(x)}\end{aligned}\end{equation}对于任意的 $x\in\mathbb{R}_{+}$，依次用式（3），（4）得\begin{equation}
f\left(f\left(x^{2}\right)\right)=\frac{f(f(x))}{f(x)}=f\left(f\left(x^{2}\right)\right)=f\left(\frac{f(x)}{x}\right)
\end{equation}先证明一个引理．
引理：函数 $f$ 为单射．
证明：由式（3），（4）可将式（1）改写为$$f(x) f(f(y))+f(y f(x))=f(x y)\left(\frac{f(f(x))}{f(x)}+\frac{f(f(y))}{f(y)}\right)$$在上式中，取 $y=x$ 并利用式（3）得\begin{equation}\begin{aligned}&f(x) f(f(x))+f(x f(x))=2 \frac{f(f(x))}{x} \\ &\Rightarrow f(x f(x))=f(f(x))\left(\frac{2}{x}-f(x)\right)\end{aligned}\end{equation}由式（3）可将式（2）改写为\begin{equation}
f(x) f(f(y))+f(y f(x))=f(y) f(f(x))+f(x f(y))
\end{equation}假设对于 $x,y\in\mathbb{R}_{+}$，有 $f(x)=f(y)$．由式（7）得$$f(y f(y))=f(y f(x))=f(x f(y))=f(x f(x))$$由式（6）得$$\begin{aligned}&f(f(y))\left(\frac{2}{y}-f(y)\right)=f(f(x))\left(\frac{2}{x}-f(x)\right) \\ &\Rightarrow x=y\end{aligned}$$这表明，函数 $f$ 为单射．引理得证．由引理及式（5）得 $f(x)=\frac{1}{x}$．若 $f(x)=\frac{1}{x}$，则：$$\begin{aligned}\text{式}(1)\text{的左边} &=x \cdot \frac{1}{x^{2}} \cdot y+\frac{x}{y}=\frac{y}{x}+\frac{x}{y} \\ \text{式}(1)\text{的右边} &=\frac{1}{x y}\left(x^{2}+y^{2}\right)=\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\end{aligned}$$因此，$f(x)=\frac{1}{x}$ 满足式（1）．综上，$f(x)=\frac{1}{x}$ 为满足式（1）的解

略