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序号 ID 年级 类型 来源 摘要 创建时间
19578 5ca5d6c7210b28107f52abd0 高中 解答题 自招竞赛 对全体满足 $a,b,c,d,e\geqslant-1$ 且 $a+b+c+d+e=5$ 的实数．求 $S=(a+b)(b+c)(c+d)(d+e)(e+a)$ 的最大值和最小值． 2022-04-17 19:48:51
19577 5ca5d86b210b28107f52abd5 高中 解答题 自招竞赛 若正整数 $a,b,c$ 是一个直角三角形的三边长，则称三元集合 $\{a,b,c\}$ 为勾股三元组，求证：对任意勾股三元组 $P,Q$，存在正整数 $m\geqslant 2$ 勾股三元组 $P_1,P_2,\cdots,P_m$ 使得 $P=P_1$，$Q=P_m$，且任意 $1\leqslant i\leqslant m-1$，$P_i\bigcap P_{i+1}\not=\varnothing$． 2022-04-17 19:47:51
19576 5ca5d9f3210b28107f52abda 高中 解答题 自招竞赛 在 $\triangle ABC$ 中，$AB<AC$，$O$ 是三角形的外心，$D$ 是 $\angle BAC$ 角分线上一点，$E$ 在 $BC$ 上，满足 $OE\parallel AD$，$DE\bot BC$，在射线 $EB$ 上取一点 $K$，满足 $EK=EA$，$\triangle ADK$ 外接圆与 $BC$ 交于另外一点 $P\ne D$，$\triangle ADK$ 外接圆与 $\triangle ABC$ 外接圆交于另外一点 $Q\ne A$，求证：$PQ$ 与 $\triangle ABC$ 外接圆相切． 2022-04-17 19:46:51
19575 5ca5db0c210b28107f52abe7 高中 解答题 自招竞赛 给定一个 $n\times n$ 的 方格表，每个格子中填入一个整数，每次操作选择一个方格，将其同行，同列的 $2n-1$ 个数都加 $1$．求最小 $N(n)$，使得无论开始时方格表内数填的是多少，均可以通过有限此操作使得方格表内至少有 $N(n)$ 个 偶数． 2022-04-17 19:46:51
19574 5ca5db51210b28107f52abed 高中 解答题 自招竞赛 设点 $P_{1}, P_{2}, \cdots, P_{2018}$ 放在给定正五边形的内部或边界上．求所有的放置方式使得 $\displaystyle S=\sum\limits_{1 \leqslant i<j \leqslant 2018}\left|P_{i} P_{j}\right|^{2}$ 取到最大值． 2022-04-17 19:45:51
19573 5d1dce7c210b280220ed57b0 高中 解答题 高中习题 若正整数 $a,b,c$ 满足：对任意正整数 $n$，存在整数 $x,y,z$ 使得 $ax^2+by^2+cz^2=n$ 成立．求 $\min\{a,b,c\}$ 的最大可能值． 2022-04-17 19:45:51
19572 5d25c327210b280220ed5cb8 高中 解答题 高中习题 给定一个无穷正整数数列 $x_{1},x_{2},\cdots,x_{n},\cdots$ 满足 $\frac{x_{n+1}+x_{n-1}}{2} \geqslant x_{n}(n \in \mathbf{N}_{+}, n \geqslant 2)$，且 $x_{2}>x_{1}$ 。
定义新数列如下：$a_{1}$ 是任意给定的正整数，$a_{k}(k \in \mathbf{N}_{+}, k \geqslant 2)$ 是使得 $a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{k}$ 被 $x_{k}$ 整除的最小非负整数。证明：数列 $a_{1},a_{2},\cdots,a_{n},\cdots$ 是从某项开始不减的数列。		 2022-04-17 19:44:51
19571 5d25c710210b280220ed5cdd 高中 解答题 高中习题 已知函数 $u(x)=2\sqrt{x(1-x)}-5x^{2}+2{x}-1$ 。试求：
$(1)$ 函数 $u(x)$ 的最小值
$(2)$ 不等式 $u(x) \geqslant 0$ 的解集		 2022-04-17 19:44:51
19570 5d25d06d210b280220ed5d00 高中 解答题 高中习题 设 $f : \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}$，满足对任何 $x$、$y$ $\in \mathbf{R}$，均有 $f(x)f(y)=f(2xy+3)+3f(x+y)-3f(x)+6x$ 。求 $f(x)$ 的表达式。 2022-04-17 19:43:51
19569 5d25d213210b280220ed5d06 高中 解答题 高中习题 已知 $x_{1},x_{2},\cdots,x_{n}$ 为非负实数，且 $S_{n}=\sum_\limits{i=1}^{n}{x_{i}} \geqslant 2016$ 。求 $\frac{x_{1}\sqrt{S_{n}}}{S_{n-1}^{2}+x_{n}}$ 2022-04-17 19:42:51
19568 5d25d64a210b28021fc783a2 高中 解答题 高中习题 已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{0}=a,a_{n}=2+a_{0}a_{1}\cdots a_{n-1}(n \geqslant 1)$ 。求 $a$ 的取值范围，使得从某项起，数列 ${a_{n}}$ 严格单调递减。 2022-04-17 19:41:51
19567 5d25cb25210b280220ed5cf2 高中 解答题 高中习题 已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1}=1,a_{2}=x,a_{n+1}=\frac{a_{n}a_{n-1}+1}{a_{n}+a_{n-1}}+(n+2)$ 。当 $x$ 为何实数时，${a_{n}}$ 为正整数数列？ 2022-04-17 19:41:51
19566 5d25da45210b280220ed5d21 高中 解答题 高中习题 定义函数 $f(x)=\begin{cases}{2 x,} & {a_{n} \leqslant|x|<b_{n}} \\ {-\frac{1}{2} x,} & {b_{n} \leqslant|x|<a_{n+1}}\end{cases}(n \in \mathbf{Z}_{+}).$ 且 $f(x)$ 的图像绕原点旋转 $90^{\circ}$ 后，仍与原图像重合。若 $a_{1}=\frac{1}{8}$，试判断方程 $f(x)-e^{x}=0$ 的根的个数，并证明你的结论。 2022-04-17 19:41:51
19565 5d25ddaa210b28021fc783b5 高中 解答题 高中习题 对于任意实数 $a$、$b$、$c$，证明：$(a^{2}+2)(b^{2}+2)(c^{2}+2) \geqslant 9(ab+bc+ca)$ 2022-04-17 19:40:51
19564 5d25e1ec210b280220ed5d32 高中 解答题 高中习题 已知 $\lambda$ 是实数，对一切非负实数 $x$、$y$、$z$ 均有
$x^{3}+y^{3}+z^{3}+\lambda x y z$ $\geqslant\left(\frac{3+\lambda}{6}\right)\left(x^{2} y+y^{2} z+z^{2} x+x y^{2}+y z^{2}+z x^{2}\right)$ 。求实数 $\lambda$ 的取值范围。		 2022-04-17 19:40:51
19563 5d25e308210b280220ed5d39 高中 解答题 高中习题 设直线 $l_{1} / / l_{2}$，其中直线 $l_{1}$ 与抛物线 $C$：$y=ax^2+bx+c$ $(a \neq 0)$ 交于 $A$、$B$ 两点，直线 $l_{2}$ 与抛物线 $C$ 切于点 $D$ 。证明：$\frac{S_{\triangle A B D}}{S_{\text{弓形}A D B}}$ 为定值，并求此定植（即与 $a$、$b$、$c$ 无关） 2022-04-17 19:40:51
19562 5d26a5f5210b28021fc78448 高中 解答题 高中习题 收发器wfrqtfqt 2022-04-17 19:39:51
19561 5d2557b5210b280220ed5bf2 高中 解答题 自招竞赛 如图在凸四边形 $ABCD$ 中，$\angle B A D+2 \angle B C D=180^{\circ}$，$\angle B A D$ 的平分线交线段 $BD$ 于点 $E$，线段 $AE$ 的中垂线与直线 $CB、CD$ 分别交于点 $X、Y$．
证明：$A、X、C, Y$ 四点共圆．		 2022-04-17 19:39:51
19560 5d257112210b28021fc7830d 高中 解答题 自招竞赛 设 $a_{i} \geqslant 0, x_{i} \in \mathbf{R}, i=1,2, \cdots, n$．证明：$\displaystyle \left[\left(1-\sum\limits_{i=1}^{n} a_{i} \cos x_{i}\right)^{2}+\left(1-\sum_{i=1}^{n} a_{i} \sin x_{i}\right)^{2}\right]^{2} \geqslant 4\left(1-\sum_{i=1}^{n} a_{i}\right)^{3}$． 2022-04-17 19:39:51
19559 5d257521210b28021fc7831d 高中 解答题 自招竞赛 将 $16$ 个数 $\dfrac{1}{2002}, \dfrac{1}{2003}, \cdots, \dfrac{1}{2017}$ 分成两组，每组 $8$ 个数记其中一组的 $8$ 个数之和为 $A$，另一组的 $8$ 个数之和为 $B$．请给出一种分组方案使得 $|A-B|$ 最小，并说明理由． 2022-04-17 19:38:51
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