2016IMO Short List

$n$ 为任意不小于 $3$ 的奇数．若偶数 $n\geqslant 4$，考虑$$\begin{aligned}&a_{1}=a_{2}=\cdots=a_{n-1}=b_{n}=0 \\ &b_{1}=b_{2}=\cdots=b_{n-1}=a_{n}=1\end{aligned}$$则对于每个整数 $k$（$1\leqslant k\leqslant n$），均有$$\left|a_{k}\right|+\left|b_{k}\right|=1$$无论怎样选择 $x_k$（$k=1,2,\ldots,n$），$\sum_{k=1}^{n}x_k a_k$ 与 $\sum_{k=1}^{n}x_k b_k$ 均为奇数．这表明，$$\left|\sum_{k=1}^{n} x_{k} a_{k}\right| \geqslant 1,~\left|\sum_{k=1}^{n} x_{k} b_{k}\right| \geqslant 1$$故 $\left|\sum_{k=1}^{n} x_{k} a_{k}\right|+\left|\sum_{k=1}^{n} x_{k} b_{k}\right| \geqslant 2$，矛盾．
若奇数 $n\geqslant 3$，不妨假设对于每个整数 $k$（$1\leqslant k\leqslant n$），均有 $b_k \geqslant 0$（事实上，若有必要，可以用数对 $(-a_k ,-b_k )$ 代替 $(a_k ,b_k )$，用 $-x_k$ 代替 $x_k$），且$$a_{1} \geqslant a_{2} \geqslant \cdots \geqslant a_{m} \geqslant 0 \geqslant a_{m+1} \geqslant \cdots \geqslant a_{n}$$对于每个整数 $k$（$1\leqslant k\leqslant n$），选择 $x_k =(-1)^{k+1}$．定义 $s=\sum_{k=1}^{m} x_{k} a_{k}$，$t=-\sum_{k=m+1}^{n} x_{k} a_{k}$．由 $a_1 \geqslant a_2 \geqslant\ldots\geqslant a_m$，知：
当 $m$ 为偶数时，$$ \begin{aligned}s&=\left(a_{1}-a_{2}\right)+\left(a_{3}-a_{4}\right)+\cdots+\left(a_{m-1}-a_{m}\right)\geqslant 0\\ s&=a_{1}-\left(a_{2}-a_{3}\right)-\left(a_{4}-a_{5}\right)-\cdots-\left(a_{m-2}-a_{m-1}\right)-a_{m}\leqslant a_{1} \leqslant 1\end{aligned} $$当 $m$ 为奇数时，$$\begin{aligned}s&=\left(a_{1}-a_{2}\right)+\left(a_{3}-a_{4}\right)+\cdots+\left(a_{m-2}-a_{m-1}\right)+a_{m}\geqslant 0\\ s&=a_{1}-\left(a_{2}-a_{3}\right)-\left(a_{4}-a_{5}\right)-\cdots-\left(a_{m-1}-a_{m}\right)\leqslant a_{1} \leqslant 1\end{aligned}$$类似地，当 $m$ 为奇数时，$$\begin{aligned}t&=\left(-a_{n}+a_{n-1}\right)+\left(-a_{n-2}+a_{n-3}\right)+\cdots+\left(-a_{m+2}+a_{m+1}\right)\geqslant 0\\ t&=-a_{n}+\left(a_{n-1}-a_{n-2}\right)+\left(a_{n-3}-a_{n-4}\right)+\cdots+\left(a_{m+3}-a_{m+2}\right)+a_{m+1}\leqslant-a_{n} \leqslant 1\end{aligned}$$当 $m$ 为偶数时，$$\begin{aligned} t=&\left(-a_{n}+a_{n-1}\right)+\left(-a_{n-2}+a_{n-3}\right)+\cdots+\left(-a_{m+3}+a_{m+2}\right)-a_{m+1} \geqslant 0 \\ t=&-a_{n}+\left(a_{n-1}-a_{n-2}\right)+\left(a_{n-3}-a_{n-4}\right)+\cdots+\left(a_{m+2}-a_{m+1}\right) \leqslant-a_{n} \leqslant 1 \end{aligned}$$由已知条件得$$a_{k}+b_{k}=1~(1 \leqslant k \leqslant m),~~-a_{k}+b_{k}=1~(m+1 \leqslant k \leqslant n)$$则 $\sum_{k=1}^{n}x_k a_k =s-t$，$$\begin{aligned}\sum_{k=1}^{n} x_{k} b_{k}&=\sum_{k=1}^{m} x_{k}\left(1-a_{k}\right)+\sum_{k=m+1}^{n} x_{k}\left(1+a_{k}\right)\\ &=\sum_{k=1}^{n} x_{k}-\sum_{k=1}^{m} x_{k} a_{k}+\sum_{k=m+1}^{n} x_{k} a_{k} \\ &=1-s-t\end{aligned}$$因此，只要证：$$|s-t|+|1-s-t| \leqslant 1~(0 \leqslant s, t \leqslant 1)$$由对称性，不妨设 $s\geqslant t$．若 $1-s-t\geqslant 0$，则$$|s-t|+|1-s-t|=s-t+1-s-t=1-2 t \leqslant 1$$若 $1-s-t\leqslant 0$，则$$|s-t|+|1-s-t|=s-t-1+s+t=2 s-1 \leqslant 1$$综上，对于所有奇数 $n\geqslant 3$，均满足条件

略