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序号 ID 年级 类型 来源 摘要 创建时间
19518 5d2d36c8210b280220ed60f3 高中 解答题 高中习题 设有 $2^n$ 个球分成了许多堆，我们可以任意选甲乙两堆来按照以下规则挪动：若甲堆的球数 $p$ 不少于乙堆的球数 $q$，则从甲堆拿 $q$ 个球放到乙堆中去，这样算挪动一次．求证：可以经过有限次挪动将所有的球合并成一堆． 2022-04-17 19:19:51
19517 5d2d36d1210b28021fc7869f 高中 解答题 自招竞赛 已知正整数 $n$ 与 $6$ 互素．用三种颜色染一个正 $n$ 边形的顶点，使得每种颜色均有奇数个顶点．证明：存在一个等腰三角形，其三个顶点的颜色互不相同． 2022-04-17 19:19:51
19516 5d2d372c210b28021fc786a5 高中 解答题 高中习题 已知对任意的 $n\in\mathbb{N}$，有 $a_n>0$，且 $\displaystyle \sum\limits_{j=1}^na_j^3=\left(\sum\limits_{j=1}^na_j\right)^2$，求证：$a_n=n$． 2022-04-17 19:19:51
19515 5d2d375b210b280220ed6103 高中 解答题 高中习题 证明：任意正的真分数 $\dfrac{m}{n}$ 都可以表示成不同的正整数的倒数之和． 2022-04-17 19:18:51
19514 5d2d37a2210b280220ed610a 高中 解答题 高中习题 若 $a_i>0(i=1,2,3\cdots,n)$，且 $a_1\cdot a_2\cdot\cdots\cdot a_n=1$，求证：$\displaystyle \sum\limits_{i=1}^na_i\geqslant n$． 2022-04-17 19:17:51
19513 5d2d37e6210b28021fc786b2 高中 解答题 高中习题 证明：可将任一正三角形分割成 $n$ 个等腰三角形 $(n\ge3,n\in\mathbb{N})$． 2022-04-17 19:16:51
19512 5d2d3827210b28021fc786b8 高中 解答题 高中习题 在 $1993\times1993$ 的方格表中随意去掉一格，证明：剩下的图形一定可以用若干个 $L$ 型（$3$ 个小格）恰好盖住它． 2022-04-17 19:16:51
19511 5d2d449a210b280220ed614b 高中 解答题 自招竞赛 设正整数 $n\geqslant 3$．求可以选出的正 $n$ 边形的对角线的数目的最大值，使得选出的对角线中的任意两条要么在内部不相交，要么互相垂直． 2022-04-17 19:15:51
19510 5d2d67ee210b280220ed617b 高中 解答题 自招竞赛 已知一座城市有 $n$（$n\geqslant 3$）个岛．最初时，渡船公司提供一些岛与岛之间的航线，满足不能将这 $n$ 个岛拆分成两个子集，使得任意在不同子集中的两个岛之间没有航线．以后每年，渡船公司将关闭某两个岛 $X$ 与 $Y$ 之间的航线，同时为了保持所提供的服务，渡船公司将根据规则开通一些新的航线：对于任意恰与 $X,Y$ 之一有航线的岛，则渡船公司开通一条这个岛与 $X,Y$ 之外的一个岛之间的新的航线．
假设在某一时刻，若以任意方式将这 $n$ 个岛拆分为两个非空子集，则已知某年后渡船公司关闭一条连接属于两个不同子集的两个岛之间的航线．证明：一些年后，存在一个岛与其他所有岛之间均有航线．		 2022-04-17 19:14:51
19509 5d2d304e210b28021fc7867d 高中 解答题 自招竞赛 设实数 $a、b、c、d$ 满足 $abcd >0$，证明：存在 $a、b、c、d$ 的一个排列．$x、y、z、w$，使得 $2(xz+yw)^2 >(x^2＋y^2)(z^2 +w^2)$． 2022-04-17 19:13:51
19508 5d2d368e210b280220ed60ec 高中 解答题 自招竞赛 如图设 $\odot O_1$ 与 $\odot O_2$ 相交于点 $P、Q$．它们的一条外公切线分别切 $\odot O_1,\odot O_2$ 于点 $A、B$，过点 $A、B$ 的圆 $\Gamma$ 分别交 $\odot O_1,\odot O_2$ 于点 $D、C$．证明：$\dfrac{C P}{C Q}=\dfrac{D P}{D Q}$． 2022-04-17 19:13:51
19507 5d2d3910210b28021fc786c2 高中 解答题 自招竞赛 给定正整数 $n、k,k\leqslant n-2$．设实数集 $\left\{a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}\right\}$ 的任意 $k$ 元子集的元素和的绝对值不超过 $1$．证明：若 $\left|a_{1}\right| \geqslant 1$，则对任意的 $ 2\leqslant i\leqslant n$，有 $\left|a_{1}\right|+\left|a_{i}\right| \leqslant 2$． 2022-04-17 19:12:51
19506 5d2d3bfa210b28021fc786d5 高中 解答题 自招竞赛 定义 $n$ 元整数组的一次变换为：$\left(a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n-1}, a_{n}\right) \rightarrow\left(a_{1}+a_{2}, a_{2}+a_{3}, \cdots, a_{n-1}+a_{n}, a_{n}+a_{1}\right)$．求所有的正整数对 $(n,k)(n,k\geqslant 2)$，满足：对任意的 $n$ 元整数组 $\left(a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}\right)$，在有限次变换后所得数组中每一个数都是 $k$ 的倍数． 2022-04-17 19:12:51
19505 5d2d4353210b280220ed6136 高中 解答题 自招竞赛 证明：存在无穷多个正整数组 $(a, b, c)$，满足 $a、b、c$ 两两互质，且 $ab+c,bc+a,ca+b$ 两两互质． 2022-04-17 19:11:51
19504 5d2d4453210b280220ed6142 高中 解答题 自招竞赛 设 $a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}$ 是 $n$ 个非负实数，记 $\displaystyle S_{k}=\sum\limits_{i=1}^{k} a_{i}, 1 \leqslant k \leqslant n$．证明：$\displaystyle \sum\limits_{i=1}^{n}\left(a_{i} S_{i} \sum_{j=i}^{n} a_{j}^{2}\right) \leqslant \sum_{i=1}^{n}\left(a_{i} S_{i}\right)^{2}$． 2022-04-17 19:10:51
19503 5d2d5e86210b28021fc786fe 高中 解答题 自招竞赛 如图已知 $ABCD$ 为圆内接四边形，$\angle BAC＝\angle DAC$．设 $\odot O_1,\odot O_2$ 分别为 $\triangle ABC、\triangle ADC$ 的内切圆．
证明：$\odot O_1,\odot O_2$ 的某一条外公切线与 $BD$ 平行．		 2022-04-17 19:10:51
19502 5d2d66ea210b280220ed616a 高中 解答题 自招竞赛 给定整数 $m,n$，$2\leqslant m<n$，$(m,n)=1$．
求最小的整数 $k$，满足：对集合 $\{1,2,\ldots,n\}$ 的任意 $m$ 元子集 $I$，若 $\displaystyle \sum\limits_{i\in I}i>k$，则存在 $n$ 个数 $a_1 \leqslant a_2 \leqslant \ldots \leqslant a_n$，使得 $\displaystyle \dfrac{1}{m} \sum\limits_{i \in I} a_{i}>\dfrac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} a_{i}$		 2022-04-17 19:09:51
19501 5d2d7552210b280220ed61a4 高中 解答题 自招竞赛 已知 $n$ 为正整数．求满足下述性质的最小的正整数 $k$：在一个 $2n \times 2n$ 的方格表中将其中的 $k$ 个格做上标记，使得存在唯一的方式将 $2n \times 2n$ 的方格表分拆为 $1\times 2$ 和 $2\times 1$ 的多米诺，且每一个多米诺均不包含两个被标记的格． 2022-04-17 19:09:51
19500 5d2d7645210b280220ed61b0 高中 解答题 高中习题 设 $a,b,c\in\mathbb{R}^+$，且 $abc\le1$．证明：$\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge1+\dfrac{6}{a+b+c}$． 2022-04-17 19:08:51
19499 5d2d7a75210b280220ed61e2 高中 解答题 高中习题 设实数 $a,b,c,d$ 满足 $abcd>a^2+b^2+c^2+d^2$．证明：$abcd>a+b+c+d+8$． 2022-04-17 19:08:51
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