对于每个正整数 $n$，均存在分数 $\frac{a}{b}$（$a,b$ 为整数），满足$$0<b \leqslant \sqrt{n}+1, \text{ 且} \sqrt{n} \leqslant \frac{a}{b} \leqslant \sqrt{n+1}$$
【难度】
【出处】
2016IMO Short List
【标注】
【答案】
对于每个正整数 $n$，存在唯一的正整数 $r$，使得$$r^2 \leqslant n<(r+1)^2$$设 $n=r^2 +s$．则 $0\leqslant s\leqslant 2r$．据 $s$ 的奇偶性，分两种情况讨论．
（i）$s$ 为偶数．考虑分数 $\frac{r^{2}+\frac{s}{2}}{r}=r+\frac{s}{2 r}$．设 $a=r^2 +\frac{s}{2}$，$b=r$．则$$0<b=r\leqslant\sqrt{n}$$由 $n=r^2 +s\leqslant\left(\frac{a}{b}\right)^2 =r^2 +s+\left(\frac{s}{2r}\right)^2 \leqslant r^2 +s+1=n+1$ $\Rightarrow~\sqrt{n}\leqslant\frac{a}{b}\leqslant\sqrt{n+1}$．
（ii）$s$ 为奇数．考虑分数 $\frac{(r+1)^{2}-r+\frac{s-1}{2}}{r+1}=r+1-\frac{2 r+1-s}{2(r+1)}$．设 $a=(r+1)^2 -r+\frac{s-1}{2}$，$b=r+1$．则$$0<b=r+1\leqslant\sqrt{n}+1$$由 $n=r^2 +s=(r+1)^2 -(2r+1-s)\leqslant (r+1)^2 -(2r+1-s)+\left(\frac{2r+1-s}{2(r+1)}\right)^2 =\left(\frac{a}{b}\right)^2 \leqslant (r+1)^2 -(2r+1-s)+1=n+1$ $\Rightarrow~\sqrt{n}\leqslant\frac{a}{b}\leqslant\sqrt{n+1}$
（i）$s$ 为偶数．考虑分数 $\frac{r^{2}+\frac{s}{2}}{r}=r+\frac{s}{2 r}$．设 $a=r^2 +\frac{s}{2}$，$b=r$．则$$0<b=r\leqslant\sqrt{n}$$由 $n=r^2 +s\leqslant\left(\frac{a}{b}\right)^2 =r^2 +s+\left(\frac{s}{2r}\right)^2 \leqslant r^2 +s+1=n+1$ $\Rightarrow~\sqrt{n}\leqslant\frac{a}{b}\leqslant\sqrt{n+1}$．
（ii）$s$ 为奇数．考虑分数 $\frac{(r+1)^{2}-r+\frac{s-1}{2}}{r+1}=r+1-\frac{2 r+1-s}{2(r+1)}$．设 $a=(r+1)^2 -r+\frac{s-1}{2}$，$b=r+1$．则$$0<b=r+1\leqslant\sqrt{n}+1$$由 $n=r^2 +s=(r+1)^2 -(2r+1-s)\leqslant (r+1)^2 -(2r+1-s)+\left(\frac{2r+1-s}{2(r+1)}\right)^2 =\left(\frac{a}{b}\right)^2 \leqslant (r+1)^2 -(2r+1-s)+1=n+1$ $\Rightarrow~\sqrt{n}\leqslant\frac{a}{b}\leqslant\sqrt{n+1}$
【解析】
略
答案
解析
备注
