设 $n$ 是一个正整数，使得存在正整数 $x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}$ 满足 $x_{1} x_{2} \cdots x_{n}\left(x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n}\right)=100 n$，求 $n $ 的最大可能值．
【难度】
【出处】
2017年中国西部数学邀请赛试题
【标注】
【答案】
略
【解析】
$n$ 的最大可能值为 $9702$．
由已知，$x_{1} x_{2} \cdots x_{n}\left(x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n}\right)=100 n$，显然 $x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n} \geqslant 1+1+\cdots+1=n$，故 $x_{1} x_{2} \cdots x_{n} \leqslant 100$．因等号无法成立．故 $x_{1} x_{2} \cdots x_{n} \leqslant 99$．而
$\begin{aligned} x_{1} x_{2} \cdots x_{n} &=\left[\left(x_{1}-1\right)+1\right]\left[\left(x_{2}-1\right)+1\right] \cdots\left[\left(x_{n}-1\right)+1\right] \geqslant\left(x_{1}-1\right)+\left(x_{2}-1\right)+\cdots+\left(x_{n}-1\right)+1 =x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n}-n+1 \end{aligned}$
故 $x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n} \leqslant x_{1} x_{2} \cdots x_{n}+n-1 \leqslant n-98$．
于是 $99(n-98) \geqslant 100 n$，解得 $n \leqslant 99 \times 98=9702$．
此时取 $x_{1}=99, x_{2}=x_{3}=\cdots=x_{9702}=1$ 可使等号成立．
由已知，$x_{1} x_{2} \cdots x_{n}\left(x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n}\right)=100 n$，显然 $x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n} \geqslant 1+1+\cdots+1=n$，故 $x_{1} x_{2} \cdots x_{n} \leqslant 100$．因等号无法成立．故 $x_{1} x_{2} \cdots x_{n} \leqslant 99$．而
$\begin{aligned} x_{1} x_{2} \cdots x_{n} &=\left[\left(x_{1}-1\right)+1\right]\left[\left(x_{2}-1\right)+1\right] \cdots\left[\left(x_{n}-1\right)+1\right] \geqslant\left(x_{1}-1\right)+\left(x_{2}-1\right)+\cdots+\left(x_{n}-1\right)+1 =x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n}-n+1 \end{aligned}$
故 $x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n} \leqslant x_{1} x_{2} \cdots x_{n}+n-1 \leqslant n-98$．
于是 $99(n-98) \geqslant 100 n$，解得 $n \leqslant 99 \times 98=9702$．
此时取 $x_{1}=99, x_{2}=x_{3}=\cdots=x_{9702}=1$ 可使等号成立．
答案
解析
备注
