设 $9$ 个正整数 $a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{9}$（可以相同），满足：对任意 $1 \leqslant i<j<k \leqslant 9$，都存在与 $i、j、k$ 不同的 $l$，$1\leqslant l\leqslant 9 $，使得 $ a_{i}+a_{j}+a_{k}+a_{l}=100 $．求满足上述要求的有序九元数组 $ \left(a_{1},a_{2},\cdots,a_{9}\right)$ 的个数．
【难度】
【出处】
2017年中国西部数学邀请赛试题
【标注】
【答案】
略
【解析】
对满足条件的正整数组 $\left(a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{9}\right)$，将 $a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{9}$ 从小到大排列为 $b_{1} \leqslant b_{2} \leqslant \cdots \leqslant b_{9}$．由条件知，分别存在l $l \in\{4,5, \cdots, 9\}$ 及 $l^{\prime} \in\{1,2, \cdots, 6 \}$ 使得
$b_{1}+b_{2}+b_{3}+b_{l}=b_{l^{\prime}}+b_{7}+b_{8}+b_{9}=100$．①
注意到 $b_{l^\prime} \geqslant b_{1}, b_{7} \geqslant b_{2}, b_{8} \geqslant b_{3}, b_{9} \geqslant b_{l}$ ②
结合 ① 知，② 中的不等号均为等号，故 $b_{2}=b_{3}=\cdots=b_{8}$．
因此可设 $\left(b_{1}, b_{2}, \cdots, b_{9}\right)=(x, y, \cdots, y, z)$，其中 $x \leqslant y \leqslant z$．
由条件知，使 $x+y+z+b_l = 100$ 的 $b_l$ 的值只能是 $y$，即
$x+2 y+z=100$．③
（1）$x=y =z= 25$ 时，有 $\left(b_{1}, b_{2}, \cdots, b_{9}\right)=(25,25, \cdots, 25)$，此时得到一组 $\left(a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{9}\right)$．
（2）当 $x、z$ 中恰有一个等于 $y$ 时，记另一个为 $w$，由 ③ 知 $w+3y= 100$．
该条件也是充分的．此时 $y$ 可取 $1,2, \cdots,24, 26, 27, \cdots, 33$ 这 $32$ 种不同值，每个 $y$ 对应一组 $\left(b_{1}, b_{2}, \cdots, b_{9}\right)$ 进而对应 $9$ 组不同的 $\left(a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{9}\right)$，共有 $32 \times 9 = 288$ 个数组 $\left(a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{9}\right)$．
（3）当 $x<y<z$ 时，由条件知，存在某个 $b_l\in \{x, y, z\}$，使得 $3 y+b_{l}=100$，与 ③ 比较知，$y+b_{l}=x+z$ 故必有 $b_l= y$，进而 $y= 25, x+z = 50$．该条件也是充分的．此时，对 $x= l , 2 , \cdots, 24 $，每个 $x$ 值对应一组 $\left(b_{1}, b_{2}, \cdots, b_{9}\right)$，进 而对应 $9\times 8= 72$ 组不同的 $\left(a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{9}\right)$，共有 $24\times 72= 1728$ 个数组 $\left(a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{9}\right)$
综合（1），（2），（3）知，符合条件的数组个数是 $1+ 288 + 1728 = 2017$．
$b_{1}+b_{2}+b_{3}+b_{l}=b_{l^{\prime}}+b_{7}+b_{8}+b_{9}=100$．①
注意到 $b_{l^\prime} \geqslant b_{1}, b_{7} \geqslant b_{2}, b_{8} \geqslant b_{3}, b_{9} \geqslant b_{l}$ ②
结合 ① 知，② 中的不等号均为等号，故 $b_{2}=b_{3}=\cdots=b_{8}$．
因此可设 $\left(b_{1}, b_{2}, \cdots, b_{9}\right)=(x, y, \cdots, y, z)$，其中 $x \leqslant y \leqslant z$．
由条件知，使 $x+y+z+b_l = 100$ 的 $b_l$ 的值只能是 $y$，即
$x+2 y+z=100$．③
（1）$x=y =z= 25$ 时，有 $\left(b_{1}, b_{2}, \cdots, b_{9}\right)=(25,25, \cdots, 25)$，此时得到一组 $\left(a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{9}\right)$．
（2）当 $x、z$ 中恰有一个等于 $y$ 时，记另一个为 $w$，由 ③ 知 $w+3y= 100$．
该条件也是充分的．此时 $y$ 可取 $1,2, \cdots,24, 26, 27, \cdots, 33$ 这 $32$ 种不同值，每个 $y$ 对应一组 $\left(b_{1}, b_{2}, \cdots, b_{9}\right)$ 进而对应 $9$ 组不同的 $\left(a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{9}\right)$，共有 $32 \times 9 = 288$ 个数组 $\left(a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{9}\right)$．
（3）当 $x<y<z$ 时，由条件知，存在某个 $b_l\in \{x, y, z\}$，使得 $3 y+b_{l}=100$，与 ③ 比较知，$y+b_{l}=x+z$ 故必有 $b_l= y$，进而 $y= 25, x+z = 50$．该条件也是充分的．此时，对 $x= l , 2 , \cdots, 24 $，每个 $x$ 值对应一组 $\left(b_{1}, b_{2}, \cdots, b_{9}\right)$，进 而对应 $9\times 8= 72$ 组不同的 $\left(a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{9}\right)$，共有 $24\times 72= 1728$ 个数组 $\left(a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{9}\right)$
综合（1），（2），（3）知，符合条件的数组个数是 $1+ 288 + 1728 = 2017$．
答案
解析
备注
