给定整数 $n,k,n\geqslant k\geqslant 2$．甲、乙两人在一张每个小方格都是白色的 $n\times n$ 的方格纸上玩游戏：两人轮流选择一个白色小方格将其染为黑色，甲先进行．如果某个人染色后．每个 $k\times k$ 的正方形中都至少有一个黑色小方格．则游戏结束此人获胜．问谁有必胜策略？
【难度】
【出处】
2017年中国西部数学邀请赛试题
【标注】
【答案】
略
【解析】
将方格纸按从上到下标记行．从左到右标记列．
若 $n\leqslant 2k-1$，则甲将第 $k$ 行第 $k$ 列的小方格染为黑色后，每个 $k\times k$ 正方形中至少有一个黑格，因此甲获胜．
下面假设 $n\geqslant 2k$．我们证明当 $n$ 是奇数时，甲有获胜策略；当 $n$ 是偶数时，乙有获胜策略．
对于一个已经有若干个方格染为黑色的局面：如果有两个不相交的 $k\times k$ 正方形所含的全是白格，并且方格纸内白格总数为奇数，我们称其为"好局面"；如果有两个不相交的 $k\times k$ 正方形所含的全是白格，并且方格纸内白格总数为偶数，称其为"坏局面"．
我们证明当某人面对好局面时，他有获胜策略．
假设甲面对好局面，他先取定两个不相交的 $k\times k$ 正方形 $A$ 和 $B$，其中都是白格．由于白格总数为奇数，可选取不在 $A、B$ 中的另一个白格，将它染为 黑色，此时白格总数为偶数，且 $A、B$ 中仍然都是白格，因此变为一个坏局面．
轮到乙面对坏局面，如果他染色后，仍有两个不相交的 $k\times k$ 正方形中都是白格，此时白格总数是奇数，又回到好局面．如果他染色后，不存在两个不相交的 $k\times k$ 正方形，注意到此时至少有一个 全白格的 $k\times k$ 正方形，设 $A_1, \cdots,A_m$ 是所有全白格的 $k\times k$ 正方形，则它们两两相交，故必包含于某个 $(2k-1) \times (2k-1)$ 的正方形 $S$，因此 $S$ 的中心方格 $P$ 是 $A_1 , \cdots,A_m$ 的公共格．这样甲将 $P$ 染为黑色后，所有 $k\times k$ 正方形中都含有黑格，于是甲获胜．
总之，当某人面对好局面时，他可以在自己的下一回合获胜或是仍面对 好局面，而游戏必在有限步内结束，因此他有获胜策略由上述论证亦可知．当某人面对坏局面时他要么让对方下一回合即可获胜，要么留给对方好屙面，因此对方有获胜策略．在 $n\geqslant 2k$ 时．由于四个角上的 $k\times k$ 正方形互不相交，且一开始都是白格，因此当 $n$ 是奇数时，一开始是好局面，甲有获胜策略；当 $n$ 是偶数时，一开始是坏局面，乙有获胜策略．
若 $n\leqslant 2k-1$，则甲将第 $k$ 行第 $k$ 列的小方格染为黑色后，每个 $k\times k$ 正方形中至少有一个黑格，因此甲获胜．
下面假设 $n\geqslant 2k$．我们证明当 $n$ 是奇数时，甲有获胜策略；当 $n$ 是偶数时，乙有获胜策略．
对于一个已经有若干个方格染为黑色的局面：如果有两个不相交的 $k\times k$ 正方形所含的全是白格，并且方格纸内白格总数为奇数，我们称其为"好局面"；如果有两个不相交的 $k\times k$ 正方形所含的全是白格，并且方格纸内白格总数为偶数，称其为"坏局面"．
我们证明当某人面对好局面时，他有获胜策略．
假设甲面对好局面，他先取定两个不相交的 $k\times k$ 正方形 $A$ 和 $B$，其中都是白格．由于白格总数为奇数，可选取不在 $A、B$ 中的另一个白格，将它染为 黑色，此时白格总数为偶数，且 $A、B$ 中仍然都是白格，因此变为一个坏局面．
轮到乙面对坏局面，如果他染色后，仍有两个不相交的 $k\times k$ 正方形中都是白格，此时白格总数是奇数，又回到好局面．如果他染色后，不存在两个不相交的 $k\times k$ 正方形，注意到此时至少有一个 全白格的 $k\times k$ 正方形，设 $A_1, \cdots,A_m$ 是所有全白格的 $k\times k$ 正方形，则它们两两相交，故必包含于某个 $(2k-1) \times (2k-1)$ 的正方形 $S$，因此 $S$ 的中心方格 $P$ 是 $A_1 , \cdots,A_m$ 的公共格．这样甲将 $P$ 染为黑色后，所有 $k\times k$ 正方形中都含有黑格，于是甲获胜．
总之，当某人面对好局面时，他可以在自己的下一回合获胜或是仍面对 好局面，而游戏必在有限步内结束，因此他有获胜策略由上述论证亦可知．当某人面对坏局面时他要么让对方下一回合即可获胜，要么留给对方好屙面，因此对方有获胜策略．在 $n\geqslant 2k$ 时．由于四个角上的 $k\times k$ 正方形互不相交，且一开始都是白格，因此当 $n$ 是奇数时，一开始是好局面，甲有获胜策略；当 $n$ 是偶数时，一开始是坏局面，乙有获胜策略．
答案
解析
备注
