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序号 ID 年级 类型 来源 摘要 创建时间
19598 5d21cbc8210b280220ed59db 高中 解答题 高中习题 已知 $f(z)=c_{n}z^{n}+c_{n-1}z^{n-1}+\cdots+c_{1}z+c_{0}$ 为 $n$ 次复系数多项式。证明：一定存在复数 $z_{0}(|z_{0}| \leqslant 1)$，使得 $|f(z_{0})| \geqslant |c_{0}|+\frac{1}{n+1}(|c_{1}|+|c_{n}|)$ 2022-04-17 19:02:52
19597 5d21ccea210b280220ed59e0 高中 解答题 高中习题 证明：存在唯一的正整数数列 $a_{1},a_{2},\cdots$，使得 $a_{1}=1,a_{2}>1,a_{n+1}(a_{n+1}-1)=\frac{a_{n}a_{n+2}}{\sqrt[3]{a_{n}a_{n+2}-1}+1}-1$，其中 $n=1,2,\cdots$ 2022-04-17 19:02:52
19596 5d21ce18210b280220ed59e5 高中 解答题 高中习题 设 $a_{1} \geqslant a_{2} \geqslant \cdots \geqslant a_{n}$ 为满足下列条件的 $n$ 个实数：对任何正整数 $k$，均有 $a_{1}^{k}+a_{2}^{k}+\cdots+a_{n}^{k} \geqslant 0$ 。令 $p=\max \{|a_{1}|,|a_{2}|,\cdots,|a_{n}|\}$ 。证明：$p=a_{1}$，并且对任意 $x>a_{1}$，均有 $(x-a_{1})(x-a_{2})\cdots(x-a_{n}) \leqslant x_{n} - a_{1}^{n}$ 2022-04-17 19:01:52
19595 5d21d002210b280220ed59eb 高中 解答题 高中习题 若 $\angle A, \angle B, \angle C$ 是 $\triangle A B C$ 的三个内角，求 $\displaystyle f(A, B, C)=\prod\left(2 \sin ^{2} A+\frac{1}{\sin ^{2} A}\right)$ 的最小值。 2022-04-17 19:01:52
19594 5d21d0f3210b28021fc7817f 高中 解答题 高中习题 数列 $\{a_{n}\}$ 定义如下：$a_{0}=2, a_{1}=a_{2}=a$，$a_{n+2}=a_{n+1} a_{n}-a_{n-1}\left(n \in \mathbf{Z}_{+}\right)$ 。若 $\{a_{n}\}$ 为纯周期数列，求实数 $a$ 的取值范围 2022-04-17 19:00:52
19593 5d21d259210b280220ed59f3 高中 解答题 高中习题 设实数 $a_{i}, b_{i}(i=1,2, \cdots, n,n \in \mathbf{Z}_{+}$ 满足 $a_{1} \leqslant a_{2} \leqslant \cdots \leqslant a_{n}, b_{1} \leqslant b_{2} \leqslant \cdots \leqslant b_{n}$ 且 $\sum_\limits{k=1}^{i} a_{k} \leqslant \sum_\limits{k=1}^{i} b_{k}(i=1,2, \cdots, n-1)$，$\sum_\limits{k=1}^{n} a_{k}=\sum_\limits{k=1}^{n} b_{k}$
若对任意实数 $m$，满足 $a_{i}-a_{j}=m$ 的整数数对 $(i,j)$ 的个数与满足 $b_{k}-b_{l}=m$ 的整数数对 $(k,l)$ 的个数相等，证明：$a_{i}=b_{i}(i=1,2,\cdots,n)$		 2022-04-17 19:59:51
19592 5d21d311210b280220ed59f8 高中 解答题 高中习题 已知数列 ${f_{n}}$ 满足 $f_{1}=f_{2}=1, f_{n+2}=f_{n+1}+f_{n}(n \in \mathbf{Z}_{+},)$ 。对任意正整数 $n$，均存在正整数 $a_{n},b_{n}$ 使得 $\min \left\{\frac{f_{n+1}}{f_{n}}, \frac{f_{n+2}}{f_{n+1}}\right\}<\frac{a_{n}}{b_{n}}<\max \left\{\frac{f_{n+1}}{f_{n}}, \frac{f_{n+2}}{f_{n+1}}\right\}$ 。证明：对任意正整数 $n$，均有 $b_{n} \geqslant f_{n+1}$ 2022-04-17 19:58:51
19591 5d21d41e210b28021fc78186 高中 解答题 高中习题 已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1}=2015,a_{n+1}=\frac{a_{n}^{2}}{2[a_{n}]+18}$ 。
$(1)$ 证明：$a_{12}<1$
$(2)$ 求最小的正整数 $ k $，使得 $a_{k}<1$		 2022-04-17 19:57:51
19590 5d1dd368210b28021fc77fbd 高中 解答题 自招竞赛 如图在锐角 $\triangle ABC$ 中，$AB>AC$，$\odot O,\odot I$ 分别为 $\triangle ABC$ 的外接圆、内切圆，$\odot I$，与边 $BC$ 切于点 $D$，直线 $AO$ 与边 $BC$ 交于点 $X$，$AY$ 为边 $BC$ 上的高，$\odot O$ 在点 $B,C$ 处的切线交于点 $l$，$PQ$ 为过点 $I$ 的 $\odot O$ 直径．证明：$A、D、L$ 三点共线当且仅当 $P、X、Y、Q$ 四点共圆． 2022-04-17 19:56:51
19589 5d1dd45a210b280220ed57c8 高中 解答题 自招竞赛 矩形 $R$ 被分割成 $2 016$ 个小矩形，每个小矩形的边均平行于矩形 $R$ 的边，小矩形的顶点称为“结点”．一条在小矩形边上的线段，若其两个端点均为结点，且其内部不含其他结点，则称这条线段为“基本线段”．考虑所有分割方式，求基本线段条数的最大值和最小值．
如图矩形 $R$ 被分割成五个小矩形，共有 $16$ 条基本线段．线段 $AB、BC$ 为基本线段，线段 $AC$ 不为基本线段．		 2022-04-17 19:55:51
19588 5d1dd4f4210b280220ed57d2 高中 解答题 自招竞赛 设整数 $n\geqslant 2$．对于 $1,2,\cdots ,n$ 的任意两个排列 $\alpha=\left(a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}\right), \beta=\left(b_{1}, b_{2}, \cdots, b_{n}\right)$，若存在正整数 $k \leqslant n$，使得
$b_{i}=\left\{\begin{array}{ll}{a_{k+1-i},} & {1 \leqslant i \leqslant k} \\ {a_{i},} & {k+1 \leqslant i \leqslant n}\end{array}\right.$
则称 $\alpha$ 与 $\beta$ 互为翻转．证明：可以把 $1,2,\cdots ,n$ 的所有排列适当记为 $P_1,P_2,\cdots ,P_m$，使得对于每个 $i=1,2,\cdots ,m$，$P_i$ 与 $P_{i+1}$ 互为翻转，其中，$m=n!$ 且规定 $P_{m+1}=P_{1}$．		 2022-04-17 19:55:51
19587 5d1dd5ac210b28021fc77fcb 高中 解答题 自招竞赛 用 $D_n$ 表示正整数 $n$ 的所有正约数构成的集合．求所有正整数 $n$，使得 $D_n$ 可以写成两个不相交的子集 $A$ 和 $G$ 的并，且满足：子集 $A、G$ 均至少含有三个元素，子集 $A$ 中元素可以排列成一个等差数列，且子集 $G$ 中元素可以排列成一个等比数列． 2022-04-17 19:54:51
19586 5d1dd5f6210b280220ed57db 高中 解答题 自招竞赛 给定整数 $n\geqslant 2$，以及正数 $a<b$．设实数 $x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n} \in[a, b]$．求
$\dfrac{\frac{x_{1}^{2}}{x_{2}}+\frac{x_{2}^{2}}{x_{3}}+\cdots+\frac{x_{n-1}^{2}}{x_{n}}+\frac{x_{n}^{2}}{x_{1}}}{x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n}}$ 的最大值．		 2022-04-17 19:53:51
19585 5d22cc2e210b280220ed5a1d 高中 解答题 自招竞赛 对正整数 $n$，定义 $A_n$ 为具有如下性质的所有素数 $p$ 构成的集合：存在正整数 $a、b$，使得 $\dfrac{a+b}{p}, \dfrac{a^{n}+b^{n}}{p^{2}}$ 均为与 $p$ 互素的整数．当 $A_n$ 为有限集（包括空集）时，用 $f(n)$ 表示 $A_n$ 的元素个数．证明：
（1）$A_n$ 是有限集的充分必要条件为 $n\ne 2$；
（2）若 $ k、m $ 为正奇数，$ d $ 为 $ k $ 与 $ m $ 的最大公约数，则 $ f(d)\leqslant f(k)+f(m)-f(k m)\leqslant 2 f(d)$ ①		 2022-04-17 19:53:51
19584 5d22cd60210b28021fc781a7 高中 解答题 自招竞赛 设 $n、k$ 为正整数，$T=\{(x, y, z) | x, y, z \in \mathbf{Z}, 1 \leqslant x, y, z \leqslant n\}$ 为空间直角坐标系中 $n^3$ 个整点构成的集合．已知集合 $T$ 中 $(3n^2-3n + 1) + k$ 个点染成红色，满足：若集合 $T$ 中两点 $P、Q$ 均染成红色且 $PQ$ 平行于坐标轴，则线段 $PQ$ 上的所有整点也均染成红色证明：存在至少 $k$ 个互不相同的立方体，它们的边长为 $1$ 且每个顶点均染成红色． 2022-04-17 19:52:51
19583 5d22ce04210b280220ed5a25 高中 解答题 自招竞赛 设正整数 $q$ 不为完全立方数证明：存在正实数 $c$，使得对任意正整数 $n$，均有 $\left\{n q^{\frac{1}{3}}\right\}+\left\{n q^{\frac{2}{3}} \right\} \geqslant c n^{-\frac{1}{2}}$，其中，$\{x\}$ 表示实数 $x$ 的小数部分． 2022-04-17 19:51:51
19582 5d22cee3210b28021fc781ad 高中 解答题 自招竞赛 如图，圆内接四边形 $ABCD$ 的对角线交于点 $P$，$\triangle APD$ 的外接圆、$\triangle BPC$ 的外接圆分别与线段 $AB$ 交于另一点 $E、F,I、J$ 分别为 $\triangle ADE、\triangle BCF$ 的内心，线段 $IJ$ 与 $AC$ 交于点 $K$．证明：$A、I、K,E$ 四点共圆． 2022-04-17 19:50:51
19581 5d22cf95210b280220ed5a2f 高中 解答题 自招竞赛 给定奇数 $n\geqslant 3$，用黑白两种颜色对 $ n\times n$ 方格表的每个格染色．称具有相同颜色且有公共顶点的两个格为”相邻的＂．对任意两个格 $a、b$，若存在一系列格 $c_{1}, c_{2}, \cdots, c_{k}$ 使得 $c_{1}=a, c_{k}=b, c_{i}(i=1,2, \cdots, k-1)$ 与 $c_{i+1}$ 相 邻，则称 $a$ 与 $b$ "连通”．求最大正整数 $M$，使得存在一种染色方案，其中有 $M$ 个两两不连通的格． 2022-04-17 19:50:51
19580 5d22d00d210b280220ed5a34 高中 解答题 自招竞赛 已知 $n、k$ 为正整数，$n > k$．给定实数 $a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n} \in(k-1, k)$．设正实数 $x_{1}, x_{2},\cdots, x_{n}$ 满足对 $\{ 1 ,2, \cdots,n\}$ 的任意 $ k $ 元子集 $ I $，均有 $ \sum_{i \in I} x_{i} \leqslant \sum_{i \in I} a_{i} $．求 $ x_{1} x_{2} \cdots x_{n}$ 的最大值． 2022-04-17 19:49:51
19579 5d243e6a210b28021fc782a5 高中 解答题 高中习题 求证：有且只有一对不相等的两位正整数 $\overline{ab}$ 和 $\overline{cd}$，满足：$(a+b)|a-b|=\overline{cd}$，$(c+d)|c-d|=\overline{ab}$． 2022-04-17 19:48:51
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