求最大的实数 $a$，使得对于所有正整数 $n$ 和所有实数 $x_0 ,x_1 ,\ldots ,x_n$（$0=x_0 < x_1 < \ldots < x_n$），均有\begin{equation}
\sum_{i=1}^{n} \frac{1}{x_{i}-x_{i-1}} \geqslant a \sum_{i=1}^{n} \frac{i+1}{x_{i}}
\end{equation}
\sum_{i=1}^{n} \frac{1}{x_{i}-x_{i-1}} \geqslant a \sum_{i=1}^{n} \frac{i+1}{x_{i}}
\end{equation}
【难度】
【出处】
2016IMO Short List
【标注】
【答案】
最大的实数 $a=\frac{4}{9}$．若 $a=\frac{4}{9}$，对于每个 $2\leqslant k\leqslant n$，由柯西不等式得$$\begin{aligned}&\left(x_{k-1}+\left(x_{k}-x_{k-1}\right)\right)\left(\frac{(k-1)^{2}}{x_{k-1}}+\frac{3^{2}}{x_{k}-x_{k-1}}\right)\geqslant(k-1+3)^{2}\\ &\Rightarrow~\frac{9}{x_{k}-x_{k-1}} \geqslant \frac{(k+2)^{2}}{x_{k}}-\frac{(k-1)^{2}}{x_{k-1}}\end{aligned}$$对于 $k=2,3,\ldots,n$ 求和，并在上式两边加上 $\frac{9}{x_1}$ 得$$9 \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{x_{k}-x_{k-1}} \geqslant 4 \sum_{k=1}^{n} \frac{k+1}{x_{k}}+\frac{n^{2}}{x_{n}}>4 \sum_{k=1}^{n} \frac{k+1}{x_{k}}$$这表明，当 $a=\frac{4}{9}$ 时，式（1）成立．定义数列 $x_0 =0$，$x_k =x_{k-1}+k(k+1)$（$k\in\mathbb{Z}_{+}$）．则 $x_{k}=\sum_{i=1}^{k} i(i+1)=\frac{k(k+1)(k+2)}{3}$．
故式（1）的左边 $=\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+1)}=\sum_{k=1}^{n}\left(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}\right)=1-\frac{1}{n+1}$，
式（1）的右边 $=a \sum_{k=1}^{n} \frac{k+1}{\frac{k(k+1)(k+2)}{3}}=a \sum_{k=1}^{n} \frac{3}{k(k+2)}=3 a \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{2}\left(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+2}\right)=\frac{3}{2}\left(1+\frac{1}{2}-\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}\right) a$．
当 $n\rightarrow\infty$ 时，式（1）左边 $\rightarrow 1$，右边 $\rightarrow\frac{9}{4}a$．因此，$a$ 最大为 $\frac{4}{9}$
故式（1）的左边 $=\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+1)}=\sum_{k=1}^{n}\left(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}\right)=1-\frac{1}{n+1}$，
式（1）的右边 $=a \sum_{k=1}^{n} \frac{k+1}{\frac{k(k+1)(k+2)}{3}}=a \sum_{k=1}^{n} \frac{3}{k(k+2)}=3 a \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{2}\left(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+2}\right)=\frac{3}{2}\left(1+\frac{1}{2}-\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}\right) a$．
当 $n\rightarrow\infty$ 时，式（1）左边 $\rightarrow 1$，右边 $\rightarrow\frac{9}{4}a$．因此，$a$ 最大为 $\frac{4}{9}$
【解析】
略
答案
解析
备注
