求所有正整数 $n$，使得 $n$ 的所有正因数可以放入一个矩形的方格内，且满足下述约束条件：
（1）每个方格内均有一个不同的因数；
（2）所有行方格内的数之和均相等；
（3）所有列方格内的数之和均相等．
（1）每个方格内均有一个不同的因数；
（2）所有行方格内的数之和均相等；
（3）所有列方格内的数之和均相等．
【难度】
【出处】
2016IMO Short List
【标注】
【答案】
$n=l$．
假设 $n$ 的所有正因数能放入一个 $k\times l$（$k\leqslant l$）的矩形的方格内，且满足条件．
设每列方格内的数之和为 $s$．因为 $n$ 是某一列的方格内的数，所以，$s\geqslant n$，当且仅当 $n=1$ 时，等号成立．对于 $j=1,2,\ldots,l$，设 $d_j$ 为第 $j$ 列方格内的数中最大的．不失一般性，假设 $d_1 > d_2 > \ldots >d_l$．由于 $d_1 , d_2 , \ldots , d_l$ 均为 $n$ 的正因数，则\begin{equation}
d_l \leqslant\frac{n}{l}
\end{equation}而 $d_l$ 为第 $l$ 列方格内的数中最大的，则\begin{equation}
d_l \geqslant \frac{s}{k}\geqslant\frac{n}{k}
\end{equation}由式（1），（2）得$$\frac{n}{l}\geqslant\frac{n}{k}~\Rightarrow~k\geqslant l$$从而，$k=l$．于是，不等式（1），（2）的等号均成立．特别地，有 $s=n$．因此，$n=1$，且 $n=1$ 满足条件
假设 $n$ 的所有正因数能放入一个 $k\times l$（$k\leqslant l$）的矩形的方格内，且满足条件．
设每列方格内的数之和为 $s$．因为 $n$ 是某一列的方格内的数，所以，$s\geqslant n$，当且仅当 $n=1$ 时，等号成立．对于 $j=1,2,\ldots,l$，设 $d_j$ 为第 $j$ 列方格内的数中最大的．不失一般性，假设 $d_1 > d_2 > \ldots >d_l$．由于 $d_1 , d_2 , \ldots , d_l$ 均为 $n$ 的正因数，则\begin{equation}
d_l \leqslant\frac{n}{l}
\end{equation}而 $d_l$ 为第 $l$ 列方格内的数中最大的，则\begin{equation}
d_l \geqslant \frac{s}{k}\geqslant\frac{n}{k}
\end{equation}由式（1），（2）得$$\frac{n}{l}\geqslant\frac{n}{k}~\Rightarrow~k\geqslant l$$从而，$k=l$．于是，不等式（1），（2）的等号均成立．特别地，有 $s=n$．因此，$n=1$，且 $n=1$ 满足条件
【解析】
略
答案
解析
备注
