求最小的实数 $C$，满足对于任意正实数 $a_1 , a_2 ,\ldots ,a_5$（允许相同），总可选择不同的下标 $i,j,k,l$，使得$$\left|\frac{a_{i}}{a_{j}}-\frac{a_{k}}{a_{l}}\right| \leqslant C$$
【难度】
【出处】
2016IMO Short List
【标注】
【答案】
最小的实数 $C=\frac{1}{2}$．
先证明：$C\leqslant\frac{1}{2}$．
对于正实数 $a_1 ,a_2 ,\ldots ,a_5$，不妨设 $a_1 \leqslant a_2 \leqslant a_3 \leqslant a_4 \leqslant a_5$．考虑五个比值 $\frac{a_{1}}{a_{2}}, \frac{a_{3}}{a_{4}}, \frac{a_{1}}{a_{5}}, \frac{a_{2}}{a_{3}}, \frac{a_{4}}{a_{5}}$，它们中的每一个均在区间 $(0,1]$ 中．由抽屉原理，知至少有三个比值同在区间 $(0,\frac{1}{2}]$ 或 $(\frac{1}{2},1]$ 中．特别地，一定有相邻的两个比值在一个长度为 $\frac{1}{2}$ 的区间内（规定 $\frac{a_1}{a_2}$ 与 $\frac{a_4}{a_5}$ 为相邻的）．由此，这两个比值的差的绝对值小于 $\frac{1}{2}$．而相邻的两个比值中的所有下标互不相同，从而，可以选择 $i,j,k,l$ 这四个下标．因此，$C\leqslant\frac{1}{2}$．
再证明：最小的实数 $C=\frac{1}{2}$．
考虑实数 $1,2,2,2,n$，其中，$n$ 为一个足够大的实数，这五个数中的任意两个数的比值按递增的次序排列为$$\frac{1}{n}, \frac{2}{n}, \frac{1}{2}, \frac{2}{2}, \frac{2}{1}, \frac{n}{2}, \frac{n}{1}$$由于 $i,j,k,l$ 互不相同，于是，$\frac{1}{n}$ 与 $\frac{2}{n}$ 不能被同时选出．从而，任意两个比值的差的绝对值的最小值为 $\frac{1}{2}-\frac{2}{n}$．又 $n$ 可以趋近于无穷大，因此，$\frac{1}{2}-\frac{2}{n}$ 趋近于 $\frac{1}{2}$．
综上，最小的实数 $C=\frac{1}{2}$
先证明：$C\leqslant\frac{1}{2}$．
对于正实数 $a_1 ,a_2 ,\ldots ,a_5$，不妨设 $a_1 \leqslant a_2 \leqslant a_3 \leqslant a_4 \leqslant a_5$．考虑五个比值 $\frac{a_{1}}{a_{2}}, \frac{a_{3}}{a_{4}}, \frac{a_{1}}{a_{5}}, \frac{a_{2}}{a_{3}}, \frac{a_{4}}{a_{5}}$，它们中的每一个均在区间 $(0,1]$ 中．由抽屉原理，知至少有三个比值同在区间 $(0,\frac{1}{2}]$ 或 $(\frac{1}{2},1]$ 中．特别地，一定有相邻的两个比值在一个长度为 $\frac{1}{2}$ 的区间内（规定 $\frac{a_1}{a_2}$ 与 $\frac{a_4}{a_5}$ 为相邻的）．由此，这两个比值的差的绝对值小于 $\frac{1}{2}$．而相邻的两个比值中的所有下标互不相同，从而，可以选择 $i,j,k,l$ 这四个下标．因此，$C\leqslant\frac{1}{2}$．
再证明：最小的实数 $C=\frac{1}{2}$．
考虑实数 $1,2,2,2,n$，其中，$n$ 为一个足够大的实数，这五个数中的任意两个数的比值按递增的次序排列为$$\frac{1}{n}, \frac{2}{n}, \frac{1}{2}, \frac{2}{2}, \frac{2}{1}, \frac{n}{2}, \frac{n}{1}$$由于 $i,j,k,l$ 互不相同，于是，$\frac{1}{n}$ 与 $\frac{2}{n}$ 不能被同时选出．从而，任意两个比值的差的绝对值的最小值为 $\frac{1}{2}-\frac{2}{n}$．又 $n$ 可以趋近于无穷大，因此，$\frac{1}{2}-\frac{2}{n}$ 趋近于 $\frac{1}{2}$．
综上，最小的实数 $C=\frac{1}{2}$
【解析】
略
答案
解析
备注
