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序号 ID 年级 类型 来源 摘要 创建时间
19478 5d2edd24210b280220ed6354 高中 解答题 自招竞赛 已知非等腰 $\triangle ABC$ 的内心为 $I$，$\angle A$ 内的旁心为 $I_A$，$I_A$ 关于直线 $BC$ 的对称点为 $I'_A$，直线 $AI'_A$ 关于直线 $AI$ 对称的直线为 $l_A$．类似定义 $I_B , I'_B , l_B$．设直线 $l_A$ 与 $l_B$ 交于点 $P$．
（1）证明：点 $P$ 在直线 $OI$ 上，其中，$O$ 为 $\triangle ABC$ 的外心．
（2）过点 $P$ 作 $\triangle ABC$ 的内切圆的切线中的一条与 $\triangle ABC$ 的外接圆交于 $X,Y$ 两点．证明：$\angle XIY=120^{\circ}$．		 2022-04-17 19:56:50
19477 5d2ede33210b28021fc78870 高中 解答题 自招竞赛 在凸四边形 $ABCD$ 中，$\angle ABC=\angle ADC<90^{\circ}$，$\angle ABC,\angle ADC$ 的平分线与 $AC$ 分别交于点 $E,F$，且这两条角平分线交于点 $P$．设 $AC$ 的中点为 $M$，$\triangle BPD$ 的外接圆为 $\Gamma$，线段 $BM,DM$ 与圆 $\Gamma$ 的第二个交点分别为 $X,Y$，直线 $XE$ 与 $YF$ 交于点 $Q$．证明：$PQ\perp AC$． 2022-04-17 19:56:50
19476 5d2eea05210b280220ed6387 高中 解答题 自招竞赛 已知 $A_1 , B_1 , C_1$ 分别为锐角 $\triangle ABC$ 的边 $BC,CA,AB$ 上的点，且 $AA_1 , BB_1 , CC_1$ 分别为 $\angle BAC,\angle CBA,\angle ACB$ 的平分线，$I$ 为 $\triangle ABC$ 的内心，$H$ 为 $\triangle A_1 B_1 C_1$ 的垂心．证明：$$AH+BH+CH\geqslant AI+BI+CI$$ 2022-04-17 19:55:50
19475 5d2ed81d210b280220ed6329 高中 解答题 自招竞赛 是否存在整数 $a, b, c$，使得 $a^2 bc+2, ab^2 c+2 , abc^2 +2$ 都是完全平方数？ 2022-04-17 19:54:50
19474 5d2ed876210b28021fc78852 高中 解答题 自招竞赛 设整数 $n\geqslant 2$，且实数 $x_1 , x_2 ,\ldots,x_n \in [0,1]$，
求证：$\displaystyle \sum\limits_{1 \leqslant k<l \leqslant n} k x_{k} x_{l} \leqslant \frac{n-1}{3} \sum_{k=1}^{n} k x_{k}$．		 2022-04-17 19:54:50
19473 5d2ed902210b280220ed633a 高中 解答题 自招竞赛 在 $\triangle ABC$ 中，点 $B_2$ 是 $AC$ 边上旁切圆圆心 $B_1$ 关于 $AC$ 中点的对称点，点 $C_2$ 是 $AB$ 边上旁切圆圆心 $C_1$ 关于 $AB$ 中点的对称点，$BC$ 边上旁切圆切 $BC$ 边于点 $D$．
求证：$AD\perp B_2 C_2$．		 2022-04-17 19:54:50
19472 5d2edcf0210b280220ed634d 高中 解答题 自招竞赛 把 $n$（$n\geqslant 2$）枚硬币排成一行．如果存在正面朝上的硬币，那么可以从中选取一枚，将以这枚硬币为左起第一枚的连续奇数枚硬币同时翻面，这称为一次操作．当所有硬币正面朝下时，停止操作．若开始时硬币全部正面朝上，
试问：是否存在一种方案，使得可以进行 $\left\lfloor\dfrac{2^{n+1}}{3}\right\rfloor$ 次操作？		 2022-04-17 19:53:50
19471 5d2ee1e1210b280220ed6369 高中 解答题 自招竞赛 若非空集合 $A\subset \{1,2,3,\ldots,n\}$ 足 $|A|\leqslant \min_{x\in A}x$．则称 $A$ 为 $n$ 级好集合．记 $a_n$ 为 $n$ 级好集合的个数．
求证：对一切正整数 $n$，都有 $a_{n+2}=a_{n+1}+a_{n}+1$．		 2022-04-17 19:53:50
19470 5d2ee873210b280220ed6379 高中 解答题 自招竞赛 如图$PA,PB$ 为圆 $O$ 的切线，点 $C$ 在劣弧 $\overparen{AB}$ 上（不含点 $A,B$）．过点 $C$ 作 $PC$ 的垂线 $l$，与 $\angle AOC$ 的平分线交于点 $D$，与 $\angle BOC$ 的平分线交于点 $E$．求证：$CD=CE$． 2022-04-17 19:52:50
19469 5d2efe37210b28021fc7888d 高中 解答题 自招竞赛 将一个正 $n$ 边形的 $n$ 条边按顺时针方向依次标上 $1,2,\ldots,n$．求所有的整数 $n\geqslant 4$，使得可以用 $n-3$ 条在内部不交的对角线将这个 $n$ 边形分成 $n-2$ 个三角形区域，并且在这 $n-3$ 条对角线上分别标上一个整数，满足每个三角形的三边所标之数的和都相等． 2022-04-17 19:52:50
19468 5d2f0135210b280220ed63b9 高中 解答题 自招竞赛 求所有的正整数 $a$，使得对任意正整数 $n\geqslant 5$，有 $
\left(2^{n}-n^{2}\right) |\left(a^{n}-n^{a}\right)
$		 2022-04-17 19:51:50
19467 5d303755210b28021fc78900 高中 解答题 自招竞赛 对于任意正整数 $k$，$S(k)$ 为 $k$ 在十进制表示下的各位数码之和．求所有整系数多项式 $P(x)$，使得对于任意正整数 $n\geqslant 2016$，$P(n)$ 为正整数，且\begin{equation}
S(P(n))=P(S(n))
\end{equation}		 2022-04-17 19:50:50
19466 5d3048ea210b28021fc78906 高中 解答题 自招竞赛 设 $\tau (n)$ 为 $n$ 的正因数的个数，$\tau_1 (n)$ 为 $n$ 模 $3$ 余 $1$ 的正因数的个数．求 $\frac{\tau(10n)}{\tau_1 (10n)}$ 所有整数值． 2022-04-17 19:50:50
19465 5d304f94210b280220ed64a8 高中 解答题 自招竞赛 设数列 $\{a_n \}$ 满足 $a_{0}=\dfrac{1}{2}$，$a_{n+1}=a_{n}+\dfrac{a_{n}^{2}}{2012}$，$n=0,1,\ldots$，求整数 $k$，使得 $a_{k}<1<a_{k+1}$． 2022-04-17 19:50:50
19464 5d2fed72210b28021fc788b3 高中 解答题 自招竞赛 证明：在正 $2n-1$ 边形 $(n\geqslant 3)$ 的顶点中，任意取出 $n$ 个点，其中必有 $3$ 个点，以它们为顶点的三角形为等腰三角形． 2022-04-17 19:49:50
19463 5d30152b210b280220ed647c 高中 解答题 自招竞赛 设 $E$ 是一个给定的 $n$ 元集合，$A_1 , A_2 , \ldots ,A_k$ 是 $E$ 的 $k$ 个两两不同的非空子集，满足：对任意的 $1\leqslant i<j\leqslant k$，要么 $A_i$ 与 $A_j$ 的交集为空集，要么 $A_i$ 与 $A_j$ 中的一个是另一个的子集．求 $k$ 的最大值． 2022-04-17 19:49:50
19462 5d3050b9210b28021fc7891d 高中 解答题 自招竞赛 一张 $n\times n$ 的方格表，称有公共边的方格是相邻的．
开始时每个方格中都写着 $+1$，对方格表进行一次操作是指：任取其中一个方格，不改变这个方格中的数，而将所有与这个方格相邻的方格中的数都改变符号．
求所有的正整数 $n\geqslant 2$，使得可以经过有限次操作，将所有方格中的数都变为 $-1$．		 2022-04-17 19:48:50
19461 5d3015f6210b280220ed6485 高中 解答题 自招竞赛 已知点 $P$ 为锐角 $\triangle ABC$ 内部任意一点，点 $EF$ 分别为 $P$ 在边 $AC,AB$ 上的射影．$BP,CP$ 的延长线分别交 $\triangle ABC$ 的外接圆于点 $B_1 , C_1$，设 $\triangle ABC$ 的外接圆和内切圆的半径分别为 $R$ 和 $r$．求证：$\dfrac{E F}{B_{1} C_{1}} \geqslant \dfrac{r}{R}$，并确定等号成立时点P的位置． 2022-04-17 19:48:50
19460 5d305387210b28021fc78926 高中 解答题 自招竞赛 求所有的质数 $p$，使得存在无穷多个正整数 $n$，满足 $p|n^{n+1}+(n+1)^{n}$． 2022-04-17 19:47:50
19459 5d304df3210b280220ed649b 高中 解答题 自招竞赛 在锐角 $\triangle ABC$ 中，$H$ 是垂心，$O$ 是外心（$A,H,O$ 三点不共线），点 $D$ 是 $A$ 在边 $BC$ 上的射影，线段 $AO$ 的中垂线交直线 $BC$ 于点 $E$．
求证：线段 $OH$ 的中点在 $\triangle ADE$ 的外接圆上．		 2022-04-17 19:47:50
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