2017年中国西部数学邀请赛试题

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  二试几何部分

略

如图延长 $MH$ 交 $AC$ 于点 $P$，延长 $NH$ 交 $AB$ 于点 $Q$．
先证充分性：由于 $B,C,E,D$ 四点共圆，故 $\angle B D H=\angle C E H$．又 $BE\bot CD$，从而 $\triangle DHB,\triangle EHC$ 均为直角三角形，注意到点 $M,N$ 分别为斜边 $B D, C E$ 的中点，故 $\angle M D H=\angle M H D$，$\angle M H B=\angle M B H$，从而 $\begin{aligned} \angle E H P+\angle H E C &=\angle M H B+\angle H D B =\angle M B H+\angle H D B=90^{\circ} \end{aligned}$
即 $MH\bot AC$．同理 $NH\bot AB$，从而点 $H$ 为 $\triangle AMN$ 的垂心．
再证必要性：若点 $H$ 为 $\triangle AMN$ 的垂心，则 $MP\bot AN, NQ\bot AM$，从而 $\dfrac{D Q}{Q B}=\dfrac{D H \cdot \sin \angle D H Q}{B H \cdot \sin \angle B H Q}=\dfrac{D H \cdot \sin \angle C H N}{B H \cdot \sin \angle E H N}=\dfrac{D H \cdot E H}{B H \cdot C H}$．
同理 $\dfrac{E P}{P C}=\dfrac{D H \cdot E H}{B H \cdot C H}$，故 $\dfrac{E P}{P C}=\dfrac{D Q}{Q B}$．利用比例性质及 $D M=M B, E N=NC$，可知 $\dfrac{E C}{P C}=\dfrac{D B}{Q B} \Rightarrow \dfrac{N C}{P C}=\dfrac{M B}{Q B} \Rightarrow \dfrac{N C}{P N}=\dfrac{M B}{Q M} \Rightarrow \dfrac{E N}{P N}=\dfrac{D M}{Q M}$
又因为点 $H$ 为 $\triangle AMN$ 的垂心，故 $\angle DMH=\angle ENH$，从而有 $\dfrac{Q M}{M H}=\dfrac{P N}{N H}$，因此 $\dfrac{D M}{M H}=\dfrac{E N}{N H}$，从而 $\triangle D M H \sim \triangle E N H$，故 $\angle M D H=\angle N E H$，因此 $B,C,E,D$ 四点共圆．
设四边形 $BCED$ 的外心为 $ O$，易知 $OM\bot AB$，从而 $OM \parallel NH$，同理 $ON\parallel MH$．故四边形 $MHNO$ 为平行四边形，因此 $MH=ON$．过点 $B$ 作 $MH$ 的平行线交 $DC$ 于点 $X$，注意到 $M$ 为 $DB$ 的中点，故 $BX = 2MH = 2ON$，由熟 知的外心性质可知 $X$ 为 $\triangle BCE$ 的垂心，从而 $CX\bot BE$，即 $CD\bot BE$．