设整数 $n\left( n>3 \right)$，非负实数 ${{a}_{1}}\text{,}{{a}_{2}}\text{,}\cdots \text{,}{{a}_{n}}$ 满足 ${{a}_{1}}+{{a}_{2}}+\cdots +{{a}_{n}}\text{=}2$ 。求 $\frac{{{a}_{1}}}{a_{2}^{2}+1}+\frac{{{a}_{2}}}{a_{3}^{2}+1}+\cdots +\frac{{{a}_{n}}}{a_{1}^{2}+1}$ 的最小值。
【难度】
【出处】
2007第6届CGMO试题
【标注】
【答案】
最小值为 $\frac{3}{2}$
【解析】
由 ${{a}_{1}}+{{a}_{2}}+\cdots+{{a}_{n}}\text{=}2$，知问题等价于求 ${{a}_{1}}-\frac{{{a}_{1}}}{a_{2}^{2}+1}+{{a}_{2}}-\frac{{{a}_{2}}}{a_{3}^{2}+1}+\cdots+{{a}_{n}}-\frac{{{a}_{n}}}{a_{1}^{2}+1}\text{=}\frac{{{a}_{1}}a_{2}^{2}}{a_{2}^{2}+1}+\frac{{{a}_{2}}a_{3}^{2}}{a_{3}^{2}+1}+\cdots+\frac{{{a}_{n}}a_{1}^{2}}{a_{1}^{2}+1}$ 的最大值。因为 ${{x}^{2}}+1\geqslant 2x$，所以，当 $x$ > $0$，$y$ > $0$ 时，$\frac{1}{2x}\geqslant \frac{1}{{{x}^{2}}+1}$，$\frac{y{{x}^{2}}}{2x}\geqslant\frac{y{{x}^{2}}}{{{x}^{2}}+1}$，即 $\frac{y{{x}^{2}}}{{{x}^{2}}+1}\leqslant \frac{1}{2}xy$；当 $x\text{=}0$ 时，上式也成立。故 $\frac{{{a}_{1}}a_{2}^{2}}{a_{2}^{2}+1}+\frac{{{a}_{2}}a_{3}^{2}}{a_{3}^{2}+1}+\cdots+\frac{{{a}_{n}}a_{1}^{2}}{a_{1}^{2}+1}\leqslant \frac{1}{2}\left({{a}_{1}}{{a}_{2}}+{{a}_{2}}{{a}_{3}}+\cdots +{{a}_{n}}{{a}_{1}} \right)$ 。 引理 若 ${{a}_{1}}\text{,}{{a}_{2}}\text{,}\cdots\text{,}{{a}_{n}}\geqslant 0\left( n\geqslant 4 \right)$，则 $4\left({{a}_{1}}{{a}_{2}}+{{a}_{2}}{{a}_{3}}+\cdots+{{a}_{n-1}}{{a}_{n}}+{{a}_{n}}{{a}_{1}} \right)\leqslant {{\left({{a}_{1}}+{{a}_{2}}+\cdots +{{a}_{n}} \right)}^{2}}$ 。 引理的证明：设 $f\left({{a}_{1}}\text{,}{{a}_{2}}\text{,}\cdots \text{,}{{a}_{n}}\right)\text{=}4\left( {{a}_{1}}{{a}_{2}}+{{a}_{2}}{{a}_{3}}+\cdots+{{a}_{n-1}}{{a}_{n}}+{{a}_{n}}{{a}_{1}} \right)-{{\left({{a}_{1}}+{{a}_{2}}+\cdots +{{a}_{n}} \right)}^{2}}$ 下面用数学归纳法证明 $f\left({{a}_{1}}\text{,}{{a}_{2}}\text{,}\cdots \text{,}{{a}_{n}} \right)\leqslant 0$ 。（1）当 $n\text{=}4$ 时，不等式（1）等价于 $4\left({{a}_{1}}+{{a}_{3}} \right)\left( {{a}_{2}}+{{a}_{4}} \right)\leqslant {{\left({{a}_{1}}+{{a}_{2}}+{{a}_{3}}+{{a}_{4}} \right)}^{2}}$ 。 有平均值不等式知，命题成立。 假设不等式（1）对 $n\text{=}k\left( k\geqslant 4\right)$ 时成立。对于 $n\text{=}k+1$，不妨设 ${{a}_{k}}\text{=}\min \left\{{{a}_{1}}\text{,}{{a}_{2}}\text{,}\cdots \text{,}{{a}_{k+1}} \right\}$，$\begin{align}
& f\left({{a}_{1}},{{a}_{2}}\text{,}\cdots \text{,}{{a}_{k+1}} \right)-f\left({{a}_{1}},{{a}_{2}}\text{,}\cdots \text{,}{{a}_{k-1}}\text{,}{{a}_{k}}+{{a}_{k+1}}\right) \\
&\text{=}4\left[{{a}_{k-1}}{{a}_{k}}+{{a}_{k}}{{a}_{k+1}}+{{a}_{1}}{{a}_{k+1}}-{{a}_{k-1}}\left({{a}_{k}}+{{a}_{k+1}} \right)-\left( {{a}_{k}}+{{a}_{k+1}} \right){{a}_{1}}\right] \\
&\text{=}-4\left[ \left( {{a}_{k-1}}-{{a}_{k}}\right){{a}_{k+1}}+{{a}_{1}}{{a}_{k}} \right]\leqslant 0 \\
\end{align}$ 即 $f\left( {{a}_{1}}\text{,}{{a}_{2}}\text{,}\cdots \text{,}{{a}_{k+1}}\right)\leqslant f\left( {{a}_{1}}\text{,}{{a}_{2}}\text{,}\cdots \text{,}{{a}_{k-1}}\text{,}{{a}_{k}}+{{a}_{k+1}}\right)$ 由归纳假设知，上式右边小于或等于 $0$，即当 $n\text{=}k+1$ 时，不等式（1）成立。 回到原题。由引理知 $\frac{1}{2}\left({{a}_{1}}{{a}_{2}}+{{a}_{2}}{{a}_{3}}+\cdots +{{a}_{n}}{{a}_{1}} \right)\leqslant\frac{1}{8}{{\left( {{a}_{1}}+{{a}_{2}}+\cdots +{{a}_{n}}\right)}^{2}}\text{=}\frac{1}{8}\times {{2}^{2}}\text{=}\frac{1}{2}$ 。故 $\frac{{{a}_{1}}a_{2}^{2}}{a_{2}^{2}+1}+\frac{{{a}_{2}}a_{3}^{2}}{a_{3}^{2}+1}+\cdots+\frac{{{a}_{n}}a_{1}^{2}}{a_{1}^{2}+1}\leqslant \frac{1}{2}$，即 $\frac{{{a}_{1}}}{a_{2}^{2}+1}+\frac{{{a}_{2}}}{a_{3}^{2}+1}+\cdots+\frac{{{a}_{n}}}{a_{1}^{2}+1}\geqslant \frac{3}{2}$ 。当 ${{a}_{1}}\text{=}{{a}_{2}}\text{=1,}{{a}_{3}}\text{=}\cdots\text{=}{{a}_{n}}\text{=0}$ 时，上式取等号。因此，所求最小值为 $\frac{3}{2}$ 。
& f\left({{a}_{1}},{{a}_{2}}\text{,}\cdots \text{,}{{a}_{k+1}} \right)-f\left({{a}_{1}},{{a}_{2}}\text{,}\cdots \text{,}{{a}_{k-1}}\text{,}{{a}_{k}}+{{a}_{k+1}}\right) \\
&\text{=}4\left[{{a}_{k-1}}{{a}_{k}}+{{a}_{k}}{{a}_{k+1}}+{{a}_{1}}{{a}_{k+1}}-{{a}_{k-1}}\left({{a}_{k}}+{{a}_{k+1}} \right)-\left( {{a}_{k}}+{{a}_{k+1}} \right){{a}_{1}}\right] \\
&\text{=}-4\left[ \left( {{a}_{k-1}}-{{a}_{k}}\right){{a}_{k+1}}+{{a}_{1}}{{a}_{k}} \right]\leqslant 0 \\
\end{align}$ 即 $f\left( {{a}_{1}}\text{,}{{a}_{2}}\text{,}\cdots \text{,}{{a}_{k+1}}\right)\leqslant f\left( {{a}_{1}}\text{,}{{a}_{2}}\text{,}\cdots \text{,}{{a}_{k-1}}\text{,}{{a}_{k}}+{{a}_{k+1}}\right)$ 由归纳假设知，上式右边小于或等于 $0$，即当 $n\text{=}k+1$ 时，不等式（1）成立。 回到原题。由引理知 $\frac{1}{2}\left({{a}_{1}}{{a}_{2}}+{{a}_{2}}{{a}_{3}}+\cdots +{{a}_{n}}{{a}_{1}} \right)\leqslant\frac{1}{8}{{\left( {{a}_{1}}+{{a}_{2}}+\cdots +{{a}_{n}}\right)}^{2}}\text{=}\frac{1}{8}\times {{2}^{2}}\text{=}\frac{1}{2}$ 。故 $\frac{{{a}_{1}}a_{2}^{2}}{a_{2}^{2}+1}+\frac{{{a}_{2}}a_{3}^{2}}{a_{3}^{2}+1}+\cdots+\frac{{{a}_{n}}a_{1}^{2}}{a_{1}^{2}+1}\leqslant \frac{1}{2}$，即 $\frac{{{a}_{1}}}{a_{2}^{2}+1}+\frac{{{a}_{2}}}{a_{3}^{2}+1}+\cdots+\frac{{{a}_{n}}}{a_{1}^{2}+1}\geqslant \frac{3}{2}$ 。当 ${{a}_{1}}\text{=}{{a}_{2}}\text{=1,}{{a}_{3}}\text{=}\cdots\text{=}{{a}_{n}}\text{=0}$ 时，上式取等号。因此，所求最小值为 $\frac{3}{2}$ 。
答案
解析
备注
