2007第6届CGMO试题

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  二试数论部分

$1\text{,}2\text{,}\cdots \text{,}17$ 都是好数，$18$ 不是好数

记 $d\left( n \right)$ 为正整数 $n$ 的正约数的个数。（1）因为 $p\text{=}\frac{8p}{d\left( 8p \right)}\left(p\text{=}3\text{,}5\text{,}7\text{,}11\text{,}13\text{,}17 \right)$，又 $1\text{=}\frac{2}{d\left( 2 \right)}$，$2\text{=}\frac{8}{d\left(8 \right)}$，$4\text{=}\frac{36}{d\left( 36 \right)}$，$6\text{=}\frac{72}{d\left( 72 \right)}$，$8\text{=}\frac{96}{d\left( 96 \right)}$，$9\text{=}\frac{108}{d\left(108 \right)}$，$10\text{=}\frac{180}{d\left( 180\right)}$，$12\text{=}\frac{240}{d\left( 240 \right)}$，$14\text{=}\frac{252}{d\left( 252 \right)}$，$15\text{=}\frac{360}{d\left( 360 \right)}$，$16\text{=}\frac{128}{d\left( 128 \right)}$，所以 $1\text{,}2\text{,}\cdots \text{,}17$ 都是好数。（2）假设存在正整数 $n$，使得 $\frac{n}{d\left( n \right)}\text{=}18$ 。则可设 $n\text{=}{{2}^{{{\alpha }_{0}}}}\cdot {{3}^{{{\beta}_{0}}}}{{p}_{1}}^{{{\alpha }_{1}}}\cdots {{p}_{k}}^{{{a}_{k}}}$，其中 ${{p}_{i}}\left( i\text{=}1\text{,}2\text{,}\cdots \text{,}k \right)$ 是大于 $3$ 的相异质数，${{\alpha }_{0}}\geqslant 1$，${{\beta}_{0}}\geqslant 2$，${{\alpha }_{i}}\geqslant 1\left(i\text{=}1\text{,}2\text{,}\cdots \text{,}k \right)$ 。令 ${{\alpha}_{0}}-1\text{=}a$，${{\beta }_{0}}-2\text{=}b$ 。显然，$a\geqslant 0$，$b\geqslant 0$ 。 则由 $\frac{n}{d\left( n \right)}\text{=}18$ 得 ${{2}^{\alpha }}\cdot{{3}^{\beta }}{{p}_{1}}^{{{\alpha }_{1}}}\cdots {{p}_{k}}^{{{\alpha}_{k}}}=\left( a+2 \right)\left( b+3 \right)\left( {{\alpha }_{1}}+1\right)\cdots \left( {{\alpha }_{k}}+1 \right)$ 。（1）由于对任意质数 ${{p}_{i}}$ 都有 ${{p}_{i}}^{{{\alpha}_{i}}}\geqslant {{\alpha }_{i}}+1$，从而 $\left( a+2 \right)\left( b+3 \right)\geqslant{{2}^{\alpha }}{{3}^{b}}$ 。如果 $b\geqslant 3$，则 ${{3}^{b}}\text{}3\left( b+3 \right)$ 。而 $a\ge0$ 时，${{2}^{\alpha }}\geqslant \frac{1}{2}\left( a+2 \right)$，则 ${{2}^{\alpha}}{{3}^{b}}\text{}\frac{3}{2}\left( a+2 \right)\left( b+3 \right)$，矛盾。故 $b\leqslant 2$ 。因此，$b\text{=}2$，$a\text{=0}$；$b\text{=}1$，$a\text{=}0\text{,}1\text{,}2$；$b\text{=}0$，$a\text{=}0\text{,}1\text{,}2\text{,}3\text{,}4$ 。（I）当 $b\text{=}2$，$a\text{=}0$ 时，（1）式为 ${{3}^{2}}{{p}_{1}}^{{{\alpha }_{1}}}\cdots {{p}_{k}}^{{{\alpha}_{k}}}\text{=}10\left( {{\alpha }_{1}}+1 \right)\cdots \left( {{a}_{k}}+1\right)$ 。（II）当 $b\text{=}1$，$a\text{=}0\text{,}1\text{,}2$ 时，（1）式为 $3\cdot {{2}^{a}}{{p}_{1}}^{{{\alpha }_{1}}}\cdots {{p}_{k}}^{{{\alpha}_{k}}}\text{=}{{\text{2}}^{2}}\left( a+2 \right)\left( {{\alpha }_{1}}+1 \right)\cdots\left( {{a}_{k}}+1 \right)$ 。（III）当 $b\text{=}0$，$a\text{=}0\text{,}1\text{,}2\text{,}3\text{,}4$ 时，（1）式为 ${{2}^{a}}{{p}_{1}}^{{{\alpha }_{1}}}\cdots {{p}_{k}}^{{{\alpha}_{k}}}\text{=3}\left( a+2 \right)\left( {{\alpha }_{1}}+1 \right)\cdots \left({{a}_{k}}+1 \right)$ 。（I）（II）（III）均不成立。综上，$18$ 不是好数。