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序号 ID 年级 类型 来源 摘要 创建时间
20298 5cac8345210b28193dc2e976 高中 解答题 高中习题 已知实数 $a,b,c$ 同时满足 $|a+b+c|\leqslant 1,|a-b+c|\leqslant 1,|c|\leqslant 1$．求证：$|4a+2b+c|\le7.$ 2022-04-17 19:30:58
20297 5cac8423210b28193dc2e97c 高中 解答题 高中习题 求证：对于任意实数 $a,b$，存在属于区间 $[a,b]$ 的 $x$ 和 $y$，使得$$|xy-ax-by|\geqslant\dfrac{1}{3}.$$并问，若将上述命题中的 $\dfrac{1}{3}$ 改为 $\dfrac{1}{2}$ 或 $0.33334$，是否仍然成立？ 2022-04-17 19:29:58
20296 5cac8730210b28193dc2e982 高中 解答题 高中习题 设 $a\in(0,1),b\in(0,1)$，求证：$$\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{(1-a)^2+b^2}+\sqrt{a^2+(1-b)^2}+\sqrt{(1-a)^2+(1-b)^2}\geqslant 2\sqrt{2}.$$ 2022-04-17 19:29:58
20295 5cac8c2b210b281942e4f541 高中 解答题 高中习题 在 $\triangle ABC$ 中，记三内角为 $A,B,C$，证明：$$\dfrac{1}{A}+\dfrac{1}{B}+\dfrac{1}{C}\geqslant\dfrac{9}{\pi},A^2+B^2+C^2\geqslant \dfrac{\pi^2}{3}.$$ 2022-04-17 19:28:58
20294 5cac8cad210b28193dc2e995 高中 解答题 高中习题 求方程组 $\begin{cases}
(x-2)^2+\left(y+\dfrac{3}{2}\right)^2+(z-6)^2=64,\\
(x+2)^2+\left(y-\dfrac{3}{2}\right)^2+(z+6)^2=25.\\
\end{cases}$		 2022-04-17 19:28:58
20293 5cac8cf0210b281942e4f547 高中 解答题 高中习题 设 $a,b,c$ 是正实数，且 $(1+a)(1+b)(1+c)=8$，求证：$abc\leqslant 1$． 2022-04-17 19:27:58
20292 5cac8d3b210b281942e4f54d 高中 解答题 高中习题 设 $x,y,z\in\mathbb{R}$，求证：$$\sqrt{x^2+xy+y^2}+\sqrt{x^2+xz+z^2}\geqslant\sqrt{y^2+yz+z^2}.$$ 2022-04-17 19:27:58
20291 5c8f5678210b286d074541d6 高中 解答题 自招竞赛 复数 $z\text{,}w$ 满足 $z+\frac{20i}{w}\text{=}5+i,w+\frac{12i}{z}\text{=}-4+10i$ 。求 ${{\left| zw \right|}^{2}}$ 最小值 2022-04-17 19:26:58
20290 5caea315210b280220ed1bb0 高中 解答题 高中习题 设 $a,b,c\in\mathbb{R}^+,abc=1$，证明：$$\dfrac{1}{a^3(b+c)}+\dfrac{1}{b^3(c+a)}+\dfrac{1}{c^3(a+b)}\geqslant\dfrac{3}{2}.$$ 2022-04-17 19:25:58
20289 5caea45a210b28021fc7542a 高中 解答题 高中习题 设 $x+y+z=0$，求证：$$6(x^3+y^3+z^3)\leqslant(x^2+y^2+z^2)^3.$$ 2022-04-17 19:25:58
20288 5caea5a5210b280220ed1bb9 高中 解答题 高中习题 设 $a,b,c\in\mathbb{R}$，已知对于 $-1\leqslant x\le1$，恒有 $|ax^2+b^x+c|\le1$．求证：对于 $-1\leqslant x\le1$，恒有 $|cx^2+bx+a|\le2.$ 2022-04-17 19:25:58
20287 5caea66b210b28021fc75432 高中 解答题 高中习题 设 $a_1,a_2,\cdots,a_n$ 都是正数，且对于任意 $1\leqslant k\leqslant n$，有 $a_1a_2\cdot a_n\le1$．求证：$$\dfrac{1}{1+a_1}+\dfrac{2}{(1+a_1)(1+a_2)}+\cdots+\dfrac{n}{(1+a_1)(1+a_2)\cdots(1+a_n)}<2.$$ 2022-04-17 19:24:58
20286 5caeb5bc210b28021fc75439 高中 解答题 自招竞赛 已知 ${{a}_{1}},{{a}_{2}},\cdots,{{a}_{n}}$ 均为非负整数，求证：$\frac{1}{1+{{a}_{1}}}+\frac{{{a}_{1}}}{(1+{{a}_{1}})(1+{{a}_{2}})}+\frac{{{a}_{1}}{{a}_{2}}}{(1+{{a}_{1}})(1+{{a}_{2}})(1+{{a}_{3}})}+\cdots+\frac{{{a}_{1}}{{a}_{2}}\cdots {{a}_{n-1}}}{(1+{{a}_{1}})(1+{{a}_{2}})\cdots(1+{{a}_{n}})}\leqslant 1$ 2022-04-17 19:23:58
20285 5caeb5c6210b28021fc7543e 高中 解答题 自招竞赛 圆 ${{\Gamma }_{1}}$ 和圆 ${{\Gamma }_{2}}$ 外切于点 $T$，点 $A$、$E$ 在圆 ${{\Gamma}_{1}}$ 上，$AB$ 切圆 ${{\Gamma }_{2}}$ 于点 $B$，$ED$ 切圆 ${{\Gamma}_{2}}$ 于点 $D$，直线 $BD$、$AE$ 交于点 $P$ 。
a）求证：$\frac{AB}{AT}=\frac{ED}{ET}$
b）求证：$\angle ATP+\angle ETP=180{}^\circ $		 2022-04-17 19:22:58
20284 5caeb5cc210b280220ed1bc6 高中 解答题 自招竞赛 求所有的整数对 $(a,b)$，使得存在整数 $d>1$，对任意正整数 $n$，都有 $d\left| {{a}^{n}}+{{b}^{n}}+1 \right.$ 2022-04-17 19:22:58
20283 5caeb5d1210b280220ed1bcc 高中 解答题 自招竞赛 在正十三边形的13个顶点上各摆放一枚黑子或白子，一次操作是指将两枚棋子的位置交换。求证：无论开始时棋子是如何摆放的，总可以至多操作一次，使得各个棋子的颜色关于正十三边形的某一条对称轴是对称的。 2022-04-17 19:21:58
20282 5caeb5d6210b280220ed1bd1 高中 解答题 自招竞赛 在 $\vartriangle ABC$ 中，$I$ 为内切圆圆心，$D$、$E$ 分别为 $AB$、$AC$ 边上的切点，$O$ 为 $\vartriangle BIC$ 的外心。求证：$\angle ODB=\angle OEC$ 。 2022-04-17 19:21:58
20281 5caeb5db210b280220ed1bd7 高中 解答题 自招竞赛 某个国家有 $n$ 个城市（$n\geqslant 3$），每两个城市之间都有一条双向航线。这个国家有两个航空公司，每条航线由一家公司经营。一个女数学家从某个城市出发，经过至少两个其他城市，回到出发地。如果无论怎样选择出发城市和路径，都无法只乘坐一家公司的航班，求 $n$ 的最大值。 2022-04-17 19:20:58
20280 5caeb5e0210b280220ed1bdc 高中 解答题 自招竞赛 有一个无穷正整数数列 ${{a}_{1}}\leqslant{{a}_{2}}\leqslant {{a}_{3}}\leqslant \cdots $ 。已知存在正整数 $k$ 和 $r$，使得 $\frac{r}{{{a}_{r}}}=k+1$，求证：存在正整数 $s$，使得 $\frac{s}{{{a}_{s}}}=k$ 。 2022-04-17 19:20:58
20279 5caeb5eb210b280220ed1be1 高中 解答题 自招竞赛 集合 $\left\{ 0,1,2,\cdots ,2012\right\}$ 中有多少个元素 $k$，使得 $C_{2012}^{k}$ 是2012的倍数？ 2022-04-17 19:19:58
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