已知 $a\text{,}b\text{,}c\geqslant 0$，$a+b+c\text{=}1$ 。求证：$\sqrt{a+\frac{1}{4}{{\left( b-c \right)}^{2}}}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\leqslant \sqrt{3}$ 。
【难度】
【出处】
2007第6届CGMO试题
【标注】
【答案】
略
【解析】
证法1：不妨设 $b\geqslant c$ 。令 $\sqrt{b}\text{=}x+y$，$\sqrt{c}\text{=}x-y$ 。 则 $b-c\text{=}4xy$，$a\text{=}1-2{{x}^{2}}-2{{y}^{2}}$，$x\leqslant \frac{1}{\sqrt{2}}$ 。 $\sqrt{a+\frac{1}{4}{{\left(b-c\right)}^{2}}}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\text{=}\sqrt{1-2{{x}^{2}}-2{{y}^{2}}+4{{x}^{2}}{{y}^{2}}}+2x\leqslant\sqrt{1-2{{x}^{2}}}+x+x\leqslant \sqrt{3}$ 最后一步由柯西不等式得到。 证法2：令 $a\text{=}{{u}^{2}}$，$b\text{=}{{v}^{2}}$，$c\text{=}{{w}^{2}}$，则 ${{u}^{2}}+{{v}^{2}}+{{w}^{2}}\text{=}1$ 。 于是所证不等式变为 $\sqrt{{{u}^{2}}+\frac{{{\left({{v}^{2}}-{{w}^{2}} \right)}^{2}}}{4}}+v+w\leqslant \sqrt{3}$ 。（1）注意到，$\begin{align}
&{{u}^{2}}+\frac{{{\left( {{v}^{2}}-{{w}^{2}} \right)}^{2}}}{4}\text{=}1-\left({{v}^{2}}+{{w}^{2}} \right)+\frac{{{\left( {{v}^{2}}-{{w}^{2}}\right)}^{2}}}{4} \\
&\text{=}\frac{4-4\left( {{v}^{2}}+{{w}^{2}} \right)+{{\left({{v}^{2}}-{{w}^{2}} \right)}^{2}}}{4} \\
&\text{=}\frac{4-4\left( {{v}^{2}}+{{w}^{2}} \right)+{{\left({{v}^{2}}+{{w}^{2}} \right)}^{2}}-4{{v}^{2}}{{w}^{2}}}{4} \\
&\text{=}\frac{{{\left( 2-{{v}^{2}}-{{w}^{2}}\right)}^{2}}-4{{v}^{2}}{{w}^{2}}}{4} \\
&\text{=}\frac{\left( 2-{{v}^{2}}-{{w}^{2}}-2vw \right)\left(2-{{v}^{2}}-{{w}^{2}}+2vw \right)}{4} \\
&\text{=}\frac{\left[ 2-{{\left( v+w \right)}^{2}} \right]\left[ 2-{{\left( v-w\right)}^{2}} \right]}{4} \\
& \le1-\frac{{{\left( v+w \right)}^{2}}}{2} \\
\end{align}$ 其中 ${{\left( v+w \right)}^{2}}\leqslant 2\left({{v}^{2}}+{{w}^{2}} \right)\leqslant 2$ 。 将上式代入式（1），所证不等式变为 $\sqrt{1-\frac{{{\left( v+w \right)}^{2}}}{2}}+v+w\leqslant\sqrt{3}$ 。令 $\frac{v+w}{2}\text{=}x$，将上述不等式改写为 $\sqrt{1-2{{x}^{2}}}+2x\leqslant \sqrt{3}$ 。以下则同证法1。 注：证法2解释了证法1中的替换动机。
&{{u}^{2}}+\frac{{{\left( {{v}^{2}}-{{w}^{2}} \right)}^{2}}}{4}\text{=}1-\left({{v}^{2}}+{{w}^{2}} \right)+\frac{{{\left( {{v}^{2}}-{{w}^{2}}\right)}^{2}}}{4} \\
&\text{=}\frac{4-4\left( {{v}^{2}}+{{w}^{2}} \right)+{{\left({{v}^{2}}-{{w}^{2}} \right)}^{2}}}{4} \\
&\text{=}\frac{4-4\left( {{v}^{2}}+{{w}^{2}} \right)+{{\left({{v}^{2}}+{{w}^{2}} \right)}^{2}}-4{{v}^{2}}{{w}^{2}}}{4} \\
&\text{=}\frac{{{\left( 2-{{v}^{2}}-{{w}^{2}}\right)}^{2}}-4{{v}^{2}}{{w}^{2}}}{4} \\
&\text{=}\frac{\left( 2-{{v}^{2}}-{{w}^{2}}-2vw \right)\left(2-{{v}^{2}}-{{w}^{2}}+2vw \right)}{4} \\
&\text{=}\frac{\left[ 2-{{\left( v+w \right)}^{2}} \right]\left[ 2-{{\left( v-w\right)}^{2}} \right]}{4} \\
& \le1-\frac{{{\left( v+w \right)}^{2}}}{2} \\
\end{align}$ 其中 ${{\left( v+w \right)}^{2}}\leqslant 2\left({{v}^{2}}+{{w}^{2}} \right)\leqslant 2$ 。 将上式代入式（1），所证不等式变为 $\sqrt{1-\frac{{{\left( v+w \right)}^{2}}}{2}}+v+w\leqslant\sqrt{3}$ 。令 $\frac{v+w}{2}\text{=}x$，将上述不等式改写为 $\sqrt{1-2{{x}^{2}}}+2x\leqslant \sqrt{3}$ 。以下则同证法1。 注：证法2解释了证法1中的替换动机。
答案
解析
备注
