设 $a>b>0$，且 $\dfrac{x}{a}<\dfrac{y}{b}$．证明：$$\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}\right)>\dfrac{x+y}{a+b}.$$
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
因为 $a>b>0$，$\dfrac{x}{a}<\dfrac{y}{b},$ 所以 $a-b>0$，$\dfrac{y}{b}-\dfrac{x}{a}>0.$ 所以 $(a-b)\left(\dfrac{y}{b}-\dfrac{x}{a}\right)>0,$ 即 $b\cdot\dfrac{x}{a}+a\cdot\dfrac{y}{b}>x+y,$ 即 $b\cdot\dfrac{x}{a}+a\cdot{y}{b}+x+y>2(x+y)$，
$\left(\dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}\right)(a+b)>2(x+y)$，
所以 $\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}\right)>\dfrac{x+y}{a+b}$．
$\left(\dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}\right)(a+b)>2(x+y)$，
所以 $\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}\right)>\dfrac{x+y}{a+b}$．
答案
解析
备注
